专题2.2 导数及应用（讲义）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（新高考专用）

专题2.2 函数导数及应用 01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧） 02考情分析·解密高考 03高频考点·以考定法（四大命题方向+四道高考预测试题，高考必考18-27分） · 命题点1 导数中切线问题 · 命题点2 含参函数单调性问题（重点） · 命题点3 导数中恒成立问题 · 命题点4 证明类问题 04创新好题·分层训练（ 精选10道最新名校模拟试题+11道综合提升） 1 极值的概念 若在点附近的左侧，右侧则称为函数的极小值点，称为函数的极小值； 若在点附近的左侧，右侧，则称为函数的极大值点，称为函数的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 总结：① 若可导，且是的解； ② 若是的解，. 2 求函数的极值的方法 解方程，当时： (1) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值； (2) 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值． 3 函数在上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数在内的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 4端点效应的类型（2023年全国甲卷） 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区问上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区问上,恒成立,且(或,则或. 5 洛必达法则： 6 极值点偏移问题 是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没有对称性. 已知函数是连续函数,在区间内有且只有一个极值点,且,若极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点,我们称这种状态为极值点不偏移（如二次函数）；若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”. 1）极值点偏左：，处切线与x轴不平行； 若上凸(递减)，则，若下凸(递增)，则。 2）极值点偏右：，处切线与x轴不平行； 若上凸(递减)，则，若下凸(递增)，则. 3）解题方法及步骤： 对称化构造：若是函数的两个零点,而是函数的极值点,证明（或）,根据函数单调性求解的步骤是： 1、 设，构建函数; 2、 判断函数的单调性; 3、 证明（或）即（或）; 四、由函数的单调性证（或）. 4）对数平均不等式求解的步骤是：一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出,二、通过等式两边同除以构建对数平均数,三、利用对数平均不等式将转化为后再证明（或）. 导数作为作为高考数学中必考考点，在以往的高考数学中往往是以压轴题的形式出现，随着高考改革以及九省联考试题题目的改革以及近两年的高考题目来说，导数有下调难度的趋势，所以对于导数来说应该对于常规的含参单调性的讨论问题以及极值点的判定等常规中等难度题目应重视。 考点 考向 考题 函数图象及性质 ① 导数中切线问题 ②含参函数单调性问题 ③导数恒成立问题 ④导数中证明类问题 2023 全国甲卷T8 2022 全国Ⅰ卷T10 T15 2021 ⅠT7 甲卷T13 Ⅱ16 2023 ⅡT6 T11 乙卷T6 T21 2022全国乙卷T11 T20 T16 T21 甲 T6 2021 乙卷T10 Ⅰ卷T15 2023 Ⅰ卷T19 ⅡT22 甲T20 (理)T21 2022 Ⅱ卷 T22 2021 ⅡT7 2022 甲T21 2021 乙T20 ⅠT22 ⅡT22 2023 ⅡT22 · 命题点1 导数中切线问题 典例01 （2023·全国·高考甲卷）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 典例02（2021·全国·高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 典例03 （2021·全国·高考Ⅱ）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． · 命题点2 含参函数单调性问题（重点） 典例01（2023·全国·高考Ⅱ）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 二、多选题 典例02（2022·全国·高考Ⅰ）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 三、解答题 典例03（2023·全国·高考Ⅱ）（1）证明：当时，； （2） 已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围． · 命题点3 导数中恒成立问题 典例01（2023·全国·高考Ⅰ卷）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：