第11讲 解三角形（7个知识点+3种题型+强化训练)-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019必修二）

第11讲 解三角形（7个知识点+3种题型+强化训练） 知识导图 知识清单 知识点1. 余弦定理 文字语言 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 符号语言 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 余弦定理的 其他形式 cos A=， cos B=， cos C= 知识点2.利用余弦定理解三角形 类型 求解方法 已知两边和它们的夹角， 如a，b，C ①根据余弦定理c2=a2+b2-2abcos C，求出边c； ②根据cos A=，求出A； ③根据B=180°-(A+C)，求出B 已知三边 可以先用余弦定理求出两角(常常求较小两边所对的角)，再由A+B+C=180°求出第三个角 已知两边和其中一边的对角 可利用余弦定理求出第三边(注意边的取舍)，再运用余弦定理的另一种形式求其他的角 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 知识点3. 正弦定理 文字语言 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等 符号语言 == 常见变形 a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C， sin A=，sin B=，sin C=， a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C， =2R，其中R为△ABC外接圆的半径 知识点4.三角形的面积公式 S△ABC=absin C=bcsin A=casin B. 知识点5.利用正弦定理判断三角形解的个数 1. 三角形解的情况 (1)已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能唯一确定. 2. 三角形解的个数的判断方法 “已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的情况，下面以已知a，b和A解三角形为例进行说明： 方法一：从代数角度分析 (1)若sin B=>1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； (2)若sin B==1，则满足条件的三角形的个数为1； (3)若sin B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2，由0<sin B=<1可得 B有两种情况，一种是B为钝角，另一种是B为锐角，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等，此时需进行讨论 方法二：从几何角度分析 角的类型 A为锐角 条件 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b b≤a 图形 解的情况 无解 一解 两解 一解 角的类型 A为钝角或直角 条件 a>b a≤b 图形 解的情况 一解 无解 知识点6.正、余弦定理在解三角形中的应用 1. 选择合适的定理解三角形 三角形共有6个元素，当已知条件比较复杂时，需要我们辨别有用的条件，恰当地选择定理来解决问题. 常见情况： (1)当已知条件以边或正弦值之比的关系出现时，选择正弦定理； (2)当已知条件涉及正弦或外接圆半(直)径时，选择正弦定理； (3)当已知条件涉及角的余弦值、边的平方或者边的乘积时，选择余弦定理. 以上特征都不明显时，正弦定理和余弦定理可以交替使用，进行边与角的互化，解决问题. 2. 利用正、余弦定理判断三角形的形状 (1)化边为角：根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为角的关系，再进行三角恒等变换，得到角的三角函数值或角的三角函数值之间的关系，进而得到三角形的角或角的关系，从而确定三角形的形状； (2)化角为边：根据正、余弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状. 要注意应用三角形内角的关系：如A+B+C=π⇒C=π-(A+B)， =-等. 知识点7.余弦定理、正弦定理在实际中的应用 1、测量距离的类型及解法 类型 图形 解法 A，B两点间不可达又不可视 测出两边及其夹角：BC=a，AC=b，角C，运用余弦定理得 AB= A，B两点间可视但不可达(如人与点B在河的同侧，点A在另一侧) 测出两角及其夹边：BC=a，B，C，根据正弦定理得 ====，则AB= A，B两点都不可达(如点A与B在河的同侧，人在另一侧) 先在△ADC和△BDC中分别求出AD，BD(或AC，BC)的长，再在△ABD(或△ABC)中运用余弦定理求解. 在△ADC中，由正弦定理可得AD=. 在△BDC中，由正弦定理可得BD=. 在△ABD中，由余弦定理可得AB= 2、测量高度的类型及解法 类型 图形 解法 底部可达   利用直角三角形的边角关系求解，则AB=atan C 底部不可达