2024年上海市高三数学竞赛试题

2024年上海市高三数学竞赛试题 2024年3月24日上午930~1130 一、填空题(第1-4题每小题7分,第5-8题每小题8分,共60分 1. 若正实数ab谐足ab=20+b:则a+2b的最小值是 . 规定谁先胜3局谁 &得胜利,则甲赢得胜利的概丰为(用最简分数表示答案) 3.计(C-C+C-C+C)(C-C+C-C-C)= 4. 已知āb是问一平面上的3个向量,满足[āl-32ā=-6,且向量-ā与-的角。 5. 若关于:的方程-*-2-”-1-0存在一个模为1的虚根,则正整数n的最小值为 6. 一个项点为P,底面中心为O的圆错体积为1.正四校错O-ABCD内接于该拥错,平面ABCD与该 同推应面平行,A.B.C.D这4个点都在锥的侧面上,则正四校错O-ABCD的体积的最大慎是 7. 已知函数f(x)=ar4nx有两个零点,则实数a的取值范图是_ 8. 若3个整数a.bc满足a+b+c2+3<ah+3b+3e,这样的有序整数组(a.bc)共有 组 二、解答题(每小题15分,共60分 9. 在平而直角坐标系xO中.已知回r +y-1.A、B是园的左,右项点.点C是园r内(包括 边界)的一个动点,若动点P使得PBPC=0,求OP的最大值 11. 数列fa】满足:a=a=1.a=a.+a(n=1.2..)M是大于1的正整数,试证明 在数列a.a.a...中存在相邻的两项,它们除以M的余数相等。 12. 将正整数1.2.-.100填入10x10方格表中,每个小方格恰好填1个数,要求每行从左到右10个数依次 递减,记第r行的10个数之和为$(=I.2..10).设nef12.*10满足:存在一种填法,使得 S.S..S.均大于第n列上的to个数之和,求n的最小值 2024年上海市高三数学竞赛试题简答 2024年3月24日上午930~1130 一、填空题(第1~4题每小题7分,第5~8题每小题8分,共60分) 1. 若正实数a满足q=2g+b:则区+2b的最小值是 (】9 得胜利,则甲赢得胜利的概率为 (用最简分数表示答案) 1} 3. 计(C-C+C-C+C)(C-C+C-C-C)= 【答】228 4. 已知āb是同一平而上的3个向量,满足l-3.lb2āb=-6,且向量-与-b的夹角。 【158 5. 若关于:的方程--2-”-1=0存在一个模为1的虚腿,则正整数n的鼓小值】 1515 6. 一个项点为P,底面中心为O的因锥体积为1:若正四校推O-ABCD内接于该阴耀,平面ABCD与该 锥底面平行,A.B.C.D这4个点都在圆推的例面上,则正四校推O-ABCD的体积的最大值是 _ 2 7. 已知函数f(x)=ax+nx有两个零点,则实数a的取值冠即是 〔-。 8 若3个整数a.bc满足a”+b+c+3<ab+3b+3c,则这样的有序整数组(a.b.c)共有 组 【]14 二、解答题(每小题15分,共60分) -+-1.A、B是圆的左、右项点.点C是圆T内(包括 4 边界)的一个动点,若动点P使得PB,PC=0,求{OP的最大值 【答案】5 【答案】n=3或4 11. 数列{a.满足:a=a,=I.a.=a.+a(n=1.2).M是大于1的正整数,试证明 在数列a。a..a..中存在相邻的两项,它们除以M的余数相等. 【提示】构造有序数对,利用抽屈原理证明. 12. 将正整数1.2...-,100填入10x10方格表中,每个小方格恰好填1个数,要求每行从左到右10个数依次 递减,记第i行的10个数之和为S(i=1.2..10).设nef1.2...10满足:存在一种填法,使得 S..S.....S。均大于第n列上的10个数之和,求n的最小值 【答案】5