2024年中考数学重难题型研究（山西卷）题型五 综合与探究 二次函数与几何图形探究题 二次函数与线段问题

2024年中考数学重难题型研究（山西卷） 题型五 综合与探究——二次函数与几何图形探究题 二次函数与线段问题 1、 题型解读（必考） 综合与探究是山西中考必考题，主要以函数与几何图形的动态探究形式出现，这类题型属于开放探究题，考查学生的综合探究能力、几何呈现、数学运算能力，有些综合题虽然是以二次函数为背景，但除了最初阶段需要求出函数解析式或一些特殊点的坐标等，后续设问都是平面几何类的考查难点，求解这类综合题时，需要分离图形，排除干扰，明确目标，以便突破思路，注意利用数形结合的数学思想，从数与形不同的角度寻找解题策略。 类型一、二次函数为背景产生的线段的最值 解题策略： 我们给出如下定义 铅锤高：平行y轴的线段长我们定义为铅锤高； 水平宽：平行x轴的线段长我们定义为水平宽。 如图，结合上述定义可知：铅锤高等于两点的纵坐标之差(大-小)；水平宽等于两点的横坐标之差(大-小)。 即： 1．竖直线的最值问题： 设出点坐标，表示出线段的长，利用二次函数性质求解． 2．斜线段的最值问题： 看到斜线段，首先想到构造三角形将斜线段转化为竖直线段求解．如过线段的端点作平行于y轴的线段构造三角形，具体方法如下： 方法一：可通过构造的三角形与某三角形相似，将斜线段转化为竖直线段； 方法二：利用平行线性质将所构造三角形中的角进行转化，利用锐角三角函数将斜线段转化为竖直线段； 方法三：若构造后的三角形含特殊角，则直接利用直角三角形的边角关系将斜线段转化为竖直线段． 例1-1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值． 针对练习1 1．如图，在平面直角坐标系中，过点，两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上. （1）求抛物线的表达式； （2）求点C的坐标； （3）为线段上一点，，作轴交抛物线于点M，求的最大值与最小值. 2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线. （1）求直线l的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标. 类型二、二次函数为背景产生的线段的倍分问题 (1)两条线段在同一条直线上： ①线段与坐标轴平行：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解； ②斜线段：先表示出两条线段的长，再根据线段数量关系列方程求解；或先以两条线段为斜边构造两边与坐标轴平行的三角形，再利用锐角三角函数或相似将线段数量关系进行转化； (2)两条线段不在同一条直线上： ①若两条线段的长可直接表示，则表示出两条线段的长，再利用线段数量关系列方程求解； ②若两条线段的长无法直接表示，则可通过找相似或等角，利用相似或锐角三角函数将其转化为可直接表示的两条线段的数量关系，再求解． 例2-1如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，点P为直线AB上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点H，当PH＝2HQ时，求点P的坐标． 针对练习2 1.如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作直线BC的垂线于点M，若线段PM＝OB，求点P的横坐标． 2..如图，抛物线yx2+bx+c过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），与y轴交于点C，连接AB，BC，AC．点E是线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），过点E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F，D两点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）当点D是OA的中点时，求线段EF的长； （3）若DE＝2DF，请求出点E的坐标． 类型三、二次函数为背景产生的线段的比例的最值问题 找出含有比值线段的两个相似三角形，利用相似的性质将线段比值进行转化，再利用二次函数性质求解． 例3-1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值． 例3-2.如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点D是线段BC上方抛物线上一点，过点D作DE∥BC交 轴于点E，连接AD交BC于点F，当取得最小值时，求点D的坐标． 针对练习3 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，且. （1）试求抛物线的解析式； （2）直线与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记，试求m的最大值及此时点P