北京市第五十五中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

2022北京五十五中高二（上）期中 数 学 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上） 1．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（　　） A． B． C． D． 2．直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（　　） A．30° B．60° C．120° D．90° 3．斜率为﹣3，在x轴上截距为﹣2的直线的一般式方程是（　　） A．3x+y+6＝0 B．3x﹣y+2＝0 C．3x+y﹣6＝0 D．3x﹣y﹣2＝0 4．若A（﹣1，0，2），B（1，4，10）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（　　） A．（1，2，4） B．（1，4，2） C．（2，1，4） D．（4，2，1） 5．下列各组事件中，不是互斥事件的是（　　） A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分 C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒 D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70% 6．正方体中，下列各式运算结果为向量的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（　　） A． B． C． D． 8．“直线l1：ax+（1﹣a）y＝3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y＝2互相垂直”是“a＝﹣3”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知直线l：ax﹣y﹣2＝0和点P（2，1），Q（﹣3，2），若l与线段PQ相交，则数a的取值范围是（　　） A． B．或 C． D．或 10．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若＝x+2y+3z，则x+y+z等于（　　） A．1 B． C． D．2 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上） 11．（5分）我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示 年降水量（mm） [100，150） [150，200） [200，250） [250，300] 概　率 0.21 0.16 0.13 0.12 则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率是 　 　． 12．（5分）已知空间向量＝（2，﹣1，1），＝（1，1，2），则＝　 　． 13．（5分）设＝（1，0，1），＝（0，1，1）分别是平面α，β的法向量，则平面α与平面β的夹角是 　 　． 14．（5分）两平行直线l1：3x+4y﹣2＝0与l2：6x+my﹣5＝0之间的距离是 　 　． 15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点．动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论： ①存在点P，使得PA1＝PE； ②△PA1E的面积越来越大； ③四面体A1PB1E的体积不变． 所有正确的结论的序号是 　 　． 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 16．（14分）在平行四边形ABCD中，A（1，1），C（5，5），边AB，AD所在直线的方程分别为l1：x﹣3y+2＝0和l2：3x﹣y﹣2＝0． （Ⅰ）求BC边所在直线的方程和点A到直线BC的距离； （Ⅱ）求线段AC垂直平分线所在的直线方程； （Ⅲ）求过点B且在x轴和y轴截距相等的直线方程． 17．（14分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），…，[80，90），[90，100]． （Ⅰ）求频率分布直方图中a的值； （Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （Ⅲ）从评分在[40，60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50）的概率． 18．（14分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点． （Ⅰ）求D1E的长； （Ⅱ）求异面直线AE与BC1所成的角的余弦值； （Ⅲ）求直线AB与平面AD1E所成的角的正弦值． 19．（14分）有两种投资方案，一年后投资的盈亏情况如下两表： 投资股市的盈亏情况表 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 购买基金的盈亏情况表 投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%