第2讲 几何图形变换之轴对称变换讲义（解析版+原卷版）冲刺2024数学中考二轮复习压轴题专题突破（全国通用））

第2讲 几何图形变换之轴对称变换（原卷版） 第一部分 知识导航 模块一 轴对称的定义和性质 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别和联系 轴对称图形 两个图形成轴对称 直观认识： 直观认识： 定义： 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 定义： 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。 注意：轴对称图形指的是一个图形是轴对称图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形。因此，轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，但是两个图形成轴对称只有一条对称轴。 模块二 “将军饮马”问题 “将军饮马”问题比较经典，在考试中出现的频率特别的高，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”问题和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试或者是考查比较难得“将军饮马”问题，考试的方法通常都是“将军饮马”的做法，综合考察。 模型I：最小值问题 模型II：最大值问题 模块三 等腰三角形与轴对称模型 对于整个图形是轴对称图形的平面几何问题，如果以其对称轴为对称轴作轴对称变换，则整个图形毫无变化，因此对解决问题是没有丝毫帮助的．但如果只是一部分图形是轴对称图形，此时以其对称轴为对称轴作轴对称变换，再找出轴对称图形之外的有关元素的像，则原来的几何图形即发生了变化，从而有可能使问题得到解决． 等腰三角形问题在平面几何中占有很大的比例，它是一类典型的轴对称图形，因而等腰三角形除了可以考虑用旋转变换处理外，还可以考虑用轴对称变换处理，对称轴即等腰三角形的对称轴． 模块四 常见轴对称的模型 角平分线模型：角平分线的中心思想应该是对称，关于角平分线对称，因此常见做辅助线的方法有以下三种。但是在这三种中，同学们在运用的过程中，往往第二种辅助线方式同学们最容易出错，因为在出现第二种情况时，同学们往往看不出来；第三种做法最能体现轴对称的本质。 翻折模型：其实可以这样说，翻折就是轴对称，轴对称就是翻折，而涉及到翻折往往不是单一考察，会和特殊四边形、一次函数中的图形结合考察，考察比较全面。通常情况下，和四边形结合，会考察求边倒角，而和一次函数结合，让你求点坐标，考察比较综合。 倍角模型：倍角模型与半角模型类似，本质都是转化成等角模型；利用轴对称思想构造出角平分线，进而得到等腰三角形就是解决问题的一种常见方法。 【教师备课提示】模块三是为了让孩子们复习回忆以前学过的知识，所以老师可以略讲，重点是让孩子们练习。 第二部分 典例剖析+针对训练 模块一 轴对称变换的定义和性质 【典例1】（2024•岳阳楼区开学）如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④BP＝EQ．其中正确的是 　 　． 【针对训练】 1．（2023秋•宿城区期末）如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝8，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为 　 ． 【针对训练】 1．（2023秋•邯郸期末）如图，已知点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R，MN分别交OA，OB于点E，F． （1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF的周长； （2）若PM＝PN，求证：OP平分∠AOB． 2．（2023秋•于都县期末）如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN，与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN＝6cm． （1）求△OEF的周长； （2）连接PM、PN，若∠APB＝a，求∠MPN（用含a的代数式表示）； （3）当∠a＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由． 【巩固训练】 1．（2023秋•崇川区月考）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2023秋•苍南县月考）如图，在平面直角坐标系中，直线l是一、三象限的角平分线，点P是直线l上的一个动