北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高三下学期统练2（3月月考）数学试题

人大附中2023-2024学年度第二学期高三年级统练2 数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为等差数列，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知数列为等比数列，其前n项和为，，则“公比”是“对于任意，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 7. 函数，在区间上增函数，且，则函数在上（ ） A. 单调递增 B. 单调递减 C. 最大值 D. 最小值 8. 我国油纸伞制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　） A. B. C. D. 9. 已知符号函数，则函数的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. “十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（ ） A. 一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B. 该“十字贯穿体”的表面积是 C. 该“十字贯穿体”的体积是 D. 一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11 已知，，成等比数列，且，则_______． 12. 如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________． 13. 设，为双曲线的两个焦点，若双曲线的两个顶点恰好将线段三等分，则双曲线的离心率为____． 14. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设是定义在R上的函数，对于，令，若存在正整数k使得，且当时，，则称是的一个周期为k的周期点．若，写出一个周期为1的周期点_________． 15. 定义平面向量的一种运算，，其中，是与的夹角，给出下列命题：①若，，则；②若，则；③若，则；④若，，则．其中真命题的序号是________. 三、解答题：本大题共2小题，共25分． 16. 为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示. （Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a的所有可能取值； （Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”. 设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X的分布列和数学期望. （Ⅲ）记甲组阅读量方差为. 在甲组中增加一名学生A得到新的甲组，若A的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为；若A的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为，试比较，，的大小.（结论不要求证明） 17. 在平面直角坐标系中，点在椭圆上，过点直线的方程为． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）若直线与轴、轴分别相交于两点，试求面积的最小值； （Ⅲ）设椭圆的左、右焦点分别为，，点与点关于直线对称，求证：点三点共线． 人大附中2023-2024学年度第二学期高三年级统练2 数学 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案