河南省新乡市2024届学年高三二模数学试题

2023－2024学年新乡市高三第二次模拟考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，则（ ） A． B． C． D． 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（ ） A．为锐角三角形 B．为直角三角形 C．为钝角三角形 D．的形状无法确定 3．已知直线与抛物线的图象相切，则C的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A．248种 B．168种 C．360种 D．210种 6．函数被称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数x的最大整数．若，满足，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，则下列结论一定正确的是（ ） A．是奇函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 8．已知圆锥的底面半径为，高为1，其中O为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点P在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度h（单位：cm）由关系式，确定，其中，，．小球从最高点出发，经过2s后，第一次回到最高点，则（ ） A． B． C．与时的相对于平衡位置的高度h之比为 D．与时的相对于平衡位置的高度h之比为 10．已知，集合，，，，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，A，，B三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ） A．C的渐近线方程为 B． C．的面积为 D．内接圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12．已知一平面截球O所得截面圆的半径为2，且球心O到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为______． 13．若一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则，，，，，9这6个数的平均数为______，方差为______． 14．已知函数 ，，若关于x的方程有6个解，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在三棱锥中，平面平面，且，． （1）证明：平面． （2）若，点M满足，求二面角的大小． 16．（15分） 已知数列满足， （1）记，证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）求的前2n项和，并证明． 17．（15分） 根据国家电影局统计，2024年春节假期（2月10日至2月17日）全国电影票房为80.16亿元，观影人次为1.63亿，相比2023年春节假期票房和人次分别增长了18.47%和26.36%，均创造了同档期新的纪录．2024年2月10日某电影院调查了100名观影者，并统计了每名观影者对当日观看的电影的满意度评分（满分100分），根据统计数据绘制得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为，，，，，）． （1）求这100名观影者满意度评分不低于60分的人数； （2）估计这100名观影者满意度评分的第40百分位数（结果精确到0.1）； （3）设这100名观影者满意度评分小于70分的频率为，小于80分的频率为，若甲、乙两名观影者在春节档某一天都只观看一部电影，甲观看A，B影片的概率分别为，，乙观看A，B影片的概率分别为，，当天甲、乙观看哪部电影相互独立，记甲、乙这两名观影者中当天观看A影片的人数为X，求X的分布列及期望． 18．（17分） 已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，C为M的上顶点，P是M上在第一象限的点，，直线，的斜率分别为，，且． （1）求M的方程； （2）直线与交于点D，与x轴交于点E，求的取值范围． 19．（17分） 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”． （1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；