2024年九年级中考数学【题型解读与技巧点拨】二轮重难点复习学案专题04：4.2 与相似三角形结合

【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破） 专题04 圆的综合问题-4.2 与相似三角形结合 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆与相似三角形综合问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 在解题时，我们可以利用相似三角形的性质，比如对应角相等、对应边成比例等，来推导出未知量的值。这四大类模型在求解圆中三角形的问题时非常有用，可以帮助我们在不需要测量角度和长度的情况下计算一些未知量。 1、圆中常见相似模型： 1）母子型 条件：如图，已知点P是中点；结论：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC； 2）圆幂定理相关模型 相交弦模型：圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内，则 双割线模型：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G；则 切割线模型：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线；则 3）弦切角模型 条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径；结论：（1）；（2）；（3）。 4）托勒密定理模型 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论：。 考向一　母子型模型 例1．（2023·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点； (2)在图1中，连接交于点，连接，求证； (3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．    例2．（2023·广东广州·校考三模）如图：为的直径，点A是弧的中点，交于点E，，．(1)求证：；(2)求的值．    例3．（2023·四川成都·统考二模）如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)已知，求的值．    例4．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，． (1)求的度数；(2)若，求的半径．    考向二　圆幂定理模型 例1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是 ．    例2．（2023·重庆·一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 例3．（2023春·河南·九年级专题练习）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    例4．（2022·湖南·中考真题）如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，，求的长． 例5．（2023·河南洛阳·九年级统考期中）圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．你能给出证明吗？ 下面是证明的开头： 已知：如图①，点P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于A，割线PBC与圆相交于点B、C． 求证：PA2＝PB•PC 证明：如图②，连接AB、AC、B0、AO， 因为PA切⊙0于点A，∴．PA⊥AO，∠PAB＋∠BAO＝90°． 阅读以上材料，完成下列问题：(1)补充完成上面的证明过程； (2)如图③，割线PDE与⊙O交于D、E，且PB＝BC＝4，PE＝7，求DE的长． 考向三　弦切角模型 例1．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质． （1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段） （2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？ 已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，． 求证：． （3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______． 例2．（2023·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所