2024年九年级中考数学【题型解读与技巧点拨】 二轮重难点复习学案专题04：4.1 与全等三角形结合

【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破） 专题04 圆的综合问题-4.1 与全等三角形结合 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆与全等三角形综合问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1.构造全等三角形 利用圆中的等弦，等半径和角平分线等条件构造全等三角形，从而实现边、角的转化。 1）利用等弦构造全等三角形 条件：如图1，PA、PB为⊙O的两条弦，C为劣弧AB的中点，弦CD⊥PA于E，结论：AE=PE+PB。 2）利用等半径构造全等三角形 条件：如图2，AB是⊙O的直径，CD是O的弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，结论：CE=DF。 2.圆中常见全等模型：燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋转）模型、对角互补模型、半角模型等。 1） 燕尾型/蝴蝶型全等模型 条件：OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC； 条件：OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB； 2）手拉手（旋转）型全等模型 注意：圆中的手拉手模型一般是需要辅助线构造出来的（常用旋转或截长补短法）。 条件：是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。 结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形； 特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB； 考向一　利用等弦构造全等三角形 例1．（22-23九年级下·湖北武汉·期中）如图，A，B，C，P是圆上的四个点，． (1)判断的形状，并证明你的结论．(2)若，求的长    例2．（2023九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，是的直径，点C、D为圆上两点，且弧弧，于点F，的延长线于点E．求证：． 例3．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系； (2)如图2、若、平分，，求的长度． 例4．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________；②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】（2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 考向二　利用等半径构造全等三角形 例1．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第二象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是 ． 例2．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图为圆O的直径，为圆O的弦，C为O上一点，，，垂足为D．(1)连接，判断与的位置关系，并证明；(2)若，，求圆O的半径；    考向三　燕尾型/蝴蝶型全等模型 例1．（2023·重庆九年级课时练习）如图，以O为圆心的两个圆中，大圆的半径分别交小圆于点C，D，连结，下列选项中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2022·河南焦作·统考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程． 已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________． 求证：___________． 证明： 例3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD，连结AC． (1)△ACD为等边三角形；(2)请证明：E是OB的中点；(3)若AB＝8，求CD的长． 例4．（2023秋·江苏南京·九年级校联考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______． (2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证． 例5．（2022·河南平顶山·统考二模）阅读下面的材料，完成相应的任务： 在1815年某杂志上刊登了这样一个命题：如图，圆O中的弦AB的中点为G，过点G任作两弦CD，