2024年九年级中考数学【题型解读与技巧点拨】 二轮重难点复习学案专题03 反比例函数综合问题-3.2与几何图形结合问题

【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破） 专题03 反比例函数综合问题-3.2与几何图形结合问题 反比例函数与几何的综合问题，是历年来中考的热点，常见于中考试卷的压轴题中，其融合了特殊平行四边形、特殊三角形的性质、（全等）相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的应用等数学核心知识，考查了学生的分类讨论、数形结合、转化化归等数学思想、综合分析和应用知识的能力。 这类问题主要包括反比例函数与特殊三角形的综合、反比例函数与四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的综合、反比例函数与圆的综合等三种题型。解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知数，然后结合函数的图像用含未知数的式子表示出几何图形与图像的交点坐标，再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程（组），解方程（组）即可得所求几何图形的未知量或函数解析式中待定字母的值。 特殊几何图形的存在性问题解题思想：（1）找点构成等腰三角形、直角三角形、（特殊）平行四边形等问题；（2）找点构成三角形全等、相似问题；（3）求点的坐标。 虽然部分特殊几何的存在性问题有一定“套路”可循，但大多题目试题命题灵活，并无单一模式，对学生提出了相当大的挑战。然而万变不离其宗，从特殊三角形、四边形本身的性质入手，结合边、角的相互转化，就能拨开迷雾、追寻真迹。 特别注意：（1）这类题大多需要用到分类讨论思想；（2）注意“三角形ABC是 ....”和“以点A、B、C为顶点的三角形是....”的区别，前者顺序已定，后者可以随机顺序，需进一步讨论。 考向一　反比例函数与特殊三角形的综合问题 例1．（2023年黑龙江龙东地区中考数学真题）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023年四川省达州市中考数学真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为 ．    例3．（2023年江苏省镇江市中考数学真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，两点，点C在x轴负半轴上，．(1)______，______，点C的坐标为______．(2)点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．    例4．（2023年四川省眉山市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式：(2)当时，直接写出x的取值范围；(3)在双曲线上是否存在点P，使是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．    例5．（2023年四川省成都市数学中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作AB的垂线l． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；(2)若点C在直线l上，且的面积为5，求点C的坐标；(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．    考向二　反比例函数与特殊四边形的综合问题 例1．（2023年福建省中考真题数学试题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（　　）    A． B． C． D．3 例2．（2023.山东中考模拟预测）如图，点、为反比例函数上的动点，点、为反比例函数上的动点，若四边形为菱形，则该菱形边长的最小值为___________． 例3．（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 例4．（2023年四川省泸州市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与，轴分别相交于点A，B，与反比例函数的图象相交于点C，已知，点C的横坐标为2．(1)求，的值；(2)平行于轴的动直线与和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标． 例5．（2023年河南省中考数学真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值；(2)求扇形的半径及圆心角的度数；(3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 考向三　反比例函数与圆的综合问题 例1．（2023年山东省烟台市中