2024年九年级中考数学【题型解读与技巧点拨】 二轮重难点复习学案专题03：3.1与一次函数结合问题

【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破） 专题03 反比例函数综合问题-3.1与一次函数结合问题 反比例函数与一次函数综合问题是初中《反比例函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把反比例函数与一次函数结合起来，以不等式、方程组等为核心。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练运用的方程、不等式与函数三者之间的关系，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。本专题考点是中考高频考点，在各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大一些。 1．求函数的解析式 1）求解一次函数的解析式它一般分为四个步骤：设一次函数的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0)，列出关于 k、b 的二元一次方程组，解方程组，求出 k、b 的值，写出解析式。 2）反比例函数解析式的求法，是有两种分别是：根据图象特征求出双曲线上某个点的坐标，然后用待定系数法求反比例函数的解析式；由 k 的几何意义直接得反比例函数的解析式。 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定：①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点； 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 3．涉及自变量取值范围型 当一次函数与反比例函数相交时，联立两解析式，构造方程组，然后求出交点坐标。针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围. 4．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． 1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|； 2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； 3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 考向一　求函数的解析式问题 例1．（2023年河北省中考数学真题）如图，已知点，反比例函数图像的一支与线段有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．    例2．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角顶点，顶点A、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．    例3．（2023年湖南省湘潭市中考数学真题）如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．(1)反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；(2)一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式．    例4．（2023年浙江省杭州市中考数学真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是． (1)求的值．(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．    考向二　求函数的交点或取值范围问题 例1．（2023年湖南省怀化市中考数学真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（    ）    A． B． C．或 D．或 例2．（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(   )    A．或 B．或 C．或 D．或 例3．（2023年浙江省湖州市中考数学真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(    ) A．或 B．或 C．或 D．或 例4．（2023年山东省济南市中考数学真题）综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？    【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因