2024年九年级中考数学【题型解读与技巧点拨】二轮重难点复习学案专题02：2.2 抛物线型问题

【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破） 专题03 函数实际综合应用问题-抛物线型问题 二次函数抛物线形的应用题以实际问题为题材，二次函数为依托，利用函数图象及性质来解决问题，考查二次函数的应用，主要的解题方法有待定系数法、数形结合法等，是中考的热门考点。通过认真分析呢，我们发现这些题目都是一个套路的，利用二次函数解决抛物线形的拱门和大桥、运动轨迹等实际应用问题时，首先我们要把这些实际问题中的相应数据正确地落实到平面直角坐标系中的抛物线上，然后求解得出抛物线的解析式，通过解析式来解决测量问题、最值问题等就能把问题解决了。希望同学们多加练习，掌握这类题目的解题方法。 解决抛物线型的实际问题需要从以下方面考虑： （1）抛物线解析式已知型： 此类题目需要将已知量（时间或高度、水平距离或高度）代入抛物线解析式中求得对应的未知量； （2）抛物线解析式未知型： 首先需明确以下信息：①抛物线的顶点（即最高点）；②抛物线上某一点的x轴对应的y轴坐标，即当物体运动到某一点的高度；③抛物线与x轴的交点（即物体的落地点）。 其次再根据题中是否有无抛物线图象用不同方法求解：①题中无抛物线图象时或有抛物线图象且坐标系已确定时，需要提炼题中信息，找到抛物线解析式的关键点（常含最高点），利用待定系数法求得解析式，再进行相关计算即可；②题中有抛物线图象，但无坐标系时，先根据图象建立恰当的平面直角坐标系，再按①中步骤进行求解即可。 考向一　抛物线形建筑物问题 例1．（2023年陕西省中考数学试卷（A卷））某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，． 方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小． 例2．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．(1)求抛物线的表达式；(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围． 例3．（2023年广东省深圳市中考数学真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；    (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；         (3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 例4．（2023年山东省青岛市中考数学真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．    考向二　运动路线（轨迹）问题 例．（2023年山东省威海市中考数学真题）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水