2024新高考数学二轮复习模块三三角函数与解三角形专题04.向量基底与极化恒等式

3.4向量基底与极化恒等式 知识清单 共线向量表示 平面上，，三点不共线，在直线上，且,令，，，则有 其表达意思就是从一个顶点引出三个向量，且它们共线，每一个向量，分别乘以它对面的比值，简称对面的女孩看过来． 特殊点：当D为AB中点时，，（中线定理） 【例题1.】 （2022年全国新高考I卷数学试题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以 ． 故选：B． 【例题2.】 （湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2021-2022学年高一下学期期中联考数学试题）如图，在中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由C，P，M共线，N，P，B共线，结合平面向量基本定理的推论，即可求得. 【详解】，， 由C，P，M共线，存在，使①， 由N，P，B共线，存在，使得②， 由①②，解得，，故. 故选:A. 【例题3.】 （西南名校联盟2022届“3 3 3”高考备考诊断性联考卷（一）理科数学试题）如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P点，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三点共线有，使、，由平面向量基本定理列方程组求参数，即可确定答案. 【详解】，， 由，P，M共线，存在，使①， 由N，P，B共线，存在，使得②， 由①② ，故. 故选：B. 【例题4.】 （河南省濮阳市2021-2022学年高三下学期开学摸底考试数学（理）试题）如图，在梯形中，且，，，与交于点O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底，设，，用向量分别表示出向量，，由建立方程，解出即可. 【详解】，设 又 又, 设,由 即 即 所以 解得 ，所以 故选：B 【即时训练1.】 （山东省威海市2022-2023学年高一下学期期末数学试题）在中，，，为的中点，为上一点，且，交于点，则（    ） A． B． C． D． 【即时训练2.】 （2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（三）数学文科试题）如图，在中，为的中点，，为的两个三等分点，交于点，设，，则（    ） A． B． C． D． 极化恒等式 1.极化恒等式：，我们再之前提到两个向量的数量积，有两个方案，一是知道模和夹角，二是知道两个向量的坐标，极化恒等式的出现，使得向量的数量积有了第三种方案，就是利用中线的平方差，这样无需任何角度和坐标，完全靠长度平方差来解决，向量完全靠模长化解决数量积问题，联想我们学习的极坐标，所谓“极化”，就是完全模长化，这个完全模长化的恒等式就叫极化恒等式. 在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系： 定理1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM是的中线，则. 定理2 在中，若M是BC的中点，则有 2. 极化恒等式向量乘积型： 定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆． 证明 由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆． 3.极化恒等式特殊之矩形大法 如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；② 证明：①连接，根据极化恒等式，可得； ②根据极化恒等式，可得 推广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等． 【例题5.】 （2022年北京市高考数学试题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D          【例题6.】 （江苏省南京市江宁区东山高级中学三校联考2023-2024学年高三上学期期中调研考试数学试题）在△ABC中，．P为△ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，求得，再设，转化为三角函数的最值问题，即可求解. 【详解】在△ABC中，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，设， 因为，所以，又由， 所以， 设，，则， 其中，当时，取得最小值； 当时，取得最大值，所以的取值范围为.