陕西省西安市第一中学2024届高三第十次模拟考试数学（理）试题

西安市第一中学2023-2024学年度第二学期第十次模拟考试 高三数学（理）试题 一､选择题（每小题5分，共60分，只有一个选项符合题意） 1. 当时，下列大小关系正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 《九章算术》是我国古典数学教学名著之一，书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问一边在勾上的内接正方形的边长为多少步？”在此题的条件下，向此三角形内随机投粒豆子，则落在这个内接正方形内的豆子数大约是（ ） A. 粒 B. 粒 C. 粒 D. 粒 3. 对A，B两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中A地员工的上班迟到时间为X（单位：min），，对应的曲线为，B地员工的上班迟到时间为Y（单位：min），，对应的曲线为，则下列图象正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线虚轴的一个顶点为D，，分别是C的左，右焦点，直线x＝3a与C交于A，B两点.若△ABD的重心在以为直径的圆上，则C的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 7. 在（其中）的展开式中，的系数与的系数相同，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 将函数图像上各点横坐标伸长到原来的倍，所得函数的一个对称中心可以是 A. B. C. D. 9. 陕西关中一带流行一种纸牌叫“花花牌”，俗称“花花”，牌面纸质和扑克牌差不多，窄长条型的，宽厘米，长厘米．牌面中间画上人物或花草图案，两头则有一些黑红两色的椭圆点，像盲文，这些点的多少代表了牌面的大小．由于“花花牌”不含数字，不识字的人也可以玩，故很受百姓欢迎．相传“花花牌”与唐代流行的“骨牌”玩法颇为相似，下图给出了四张“骨牌”，请按此规律（自左向右）推测下一张“骨牌”应该是（ ） A B. C. D. 10. 若函数存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 11. 已知平面向量，，，，若对任意的实数，的最小值为，则此时 A. 1 B. 2 C. D. 或 12. 已知一个三棱锥的三视图如下图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. 二､填空题（每小题5分，共20分） 13. 抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在l的右下方，则面积的最大值为______ 14. 已知函数，若存在，使得，则的取值范围是 __． 15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且满足，，则边a等于________． 16. 正方体中，是棱的中点，在侧面上运动，且满足平面.以下命题正确的有__________. ①侧面上存在点，使得 ②直线与直线所成角可能为 ③平面与平面所成锐二面角的正切值为 ④设正方体棱长为1，则过点平面截正方体所得的截面面积最大为 三､解答题（共70分） 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18. 小甲参加商场举行的玩游戏换代金券的活动．若参与A游戏，则每次胜利可以获得该商场150元的代金券；若参与B游戏，则每次胜利可以获得该商场200元的代金券；若参与C游戏，则每次胜利可以获得该商场300元的代金券．已知每参与一次游戏需要成本100元，且小甲每次游戏胜利与否相互独立． （1）若小甲参加4次A游戏，每次获胜的概率为，记其最终获得450元代金券的概率为，求函数的极大值点； （2）在（1）的条件下，记小甲参加A，B，C游戏获胜的概率分别为，，．若小甲只玩一次游戏，试通过计算说明，玩哪种游戏小甲获利的期望最大． 19. 在三棱柱中，，，，，，是的中点，与交于． （1）求证：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值． 20. 已知椭圆的离心率为，是椭圆上的两个不同点. （1）若，且点所在直线方程为，求的值； （2）若直线的斜率之积为，线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，求的值. 21. 设函数，（e为自然对数的底数） （1）若函数有两个极值点，求a的取值范围； （2）设函数，其中为的导函数，求证：的极小值不大于1. 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程，和曲线的直角坐标方程； （2）若曲线和共有四个不同交点，求的取值范围. 23. 已知函数． （1