2024新高考数学二轮复习模块三三角函数与解三角形专题01.三角函数图像与性质

3.1三角函数的图像和性质 知识清单 同角三角函数转化 (1)平方关系：． (2)商数关系：； 三角函数诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明： （1）先将诱导三角函数式中的角统一写作； （2） 无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负； （3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 【常用结论】 1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化． 2． ； ； 【例题1.】 （2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】 因为，而为锐角， 解得： ． 故选：D． 【例题2.】 （2021年全国高考甲卷数学（理）试题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 【即时训练1.】 （23-24高一下·上海·阶段练习）若，则（ ） A． B． C． D． 【即时训练2.】 （22-23高一下·江苏·阶段练习）已知，（其中），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【即时训练3.】 （23-24高一上·河南许昌·期末）已知为角终边上一点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【即时训练4.】 （23-24高一上·河南开封·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【即时训练5.】 （2024高三·全国·专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D．或 【即时训练6.】 （23-24高一上·浙江·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【即时训练7.】 （23-24高一上·河南商丘·期末）已知，则（    ） A． B． C． D．2 【即时训练8.】 （23-24高一上·云南·期末）若是方程的两根，则的值为（    ） A． B． C． D． 三角函数图形性质 (1)在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． (2)在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 1．对称与周期 (1)正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是； (2)正(余)弦曲线相邻两个对称中心的距离是； (3)正(余)弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离； 2．函数具有奇、偶性的充要条件 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)； (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (3)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)； (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)． 【例题3.】 （2023·全国·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 【例题4.】 （2019·天津·高考真题）已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】只需根据函数性质逐步得出值即可． 【详解】因为为奇函数，∴ ； 又 ，，又 ∴， 故选C． 【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数． 【例题5.】 （2014·辽宁·高考真题）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减