2024年九年级中考数学二轮复习讲义——二次函数与平行四边形性存在性问题

2024年中考数学二轮复习——二次函数与平行四边形存在性问题 一．例题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）抛物线L′于L关于原点对称，点A、B在L′的对应点分别为A′、B′．那么在L的对称轴上是否存在一点M，在L′上是否存在一点N，使得以A、A′、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y＝ax2+bx﹣4，得 ， 解得：， ∴y＝x2﹣3x﹣4； （2）∵顶点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线L′的顶点坐标为， ∴抛物线L′的解析式为x2﹣3x+4， ∵点A、B关于原点的对称， ∴A′（1，0），B′（﹣4，0）， 设，N（n，﹣n2﹣3n+4）， ①当AA′为平行四边形的对角线时，， 解得：， ∴； ②当AM为平行四边形的对角线时，， 解得：，则， ∴， ③当AN为平行四边形的对角线时，， 解得：，则， ∴， 综上所述，或或． 2．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）两点，过点M（0，1）的直线y＝kx+1交抛物线于C，D两点． （1）求抛物线的解析式； （2）P是x轴上的一个动点，抛物线上是否存在点Q，使以C，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由？ 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（1，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）依题意，， 解得：或， ∴C（﹣2，﹣3），D（2，5），则M（0，1）， 设P（p，0），Q（t，t2+2t﹣3）， 当CD为对角线时， ∴，即t2+2t﹣3＝2， 解得：或， 则或， 当CD为边时，，即t2+2t﹣3＝8， 解得：或， 则或， 综上所述，或或或． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx与x轴交于O，A两点，C（2，5）是抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式； （2）作CD⊥x轴于点D，P为抛物线上位于点A，C之间的一点，连接OP，若OP恰好平分△COD的面积，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，平面内是否存在点Q，使得以C，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵C（2，5）是抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵抛物线经过O点， ∴A（4，0）， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）如图，CD与OP交于E， ∵OP恰好平分△COD的面积， ∴E是CD的中点， ∵C（2，5）， ∴CD＝5， ∴， ∴， 设直线OP的解析式为y＝kx，则有 ， 解得：， ∴直线OP的解析式为， 联立， 解得：或， ∴． （3）存在， 如图，连接DP，分别过C、D、P作DP、CP、CD的平行线，分别交于Q1、Q2、Q3， ∴四边形PCDQ1、四边形CQ2DP、四边形CDPQ3均是平行四边形， ∴， 设直线CP的解析式为y＝ax+b，则有 ， 解得：， ∴直线CP的解析式为， ∴可设直线DQ1的解析式为， ∵D（2，0）， ∴， 解得：， ∴直线DQ1的解析式为， ∴， ∴， 同理可求：， 将Q1向上平移10个单位得到Q3， ∴， 故Q的坐标为或或． 4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式； （2）当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值． 解：（1）∵抛物线过A、C两点， ∴代入抛物线解析式可得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3， 令y＝0可得，﹣x2+2x+3＝0，解x1＝﹣1，x2＝3， ∵B点在A点右侧， ∴B点坐标为（3，0）， 设直线BC解析式为y＝kx+s， 把B、C坐标代入可得，解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+3； （2）∵PM⊥x轴， ∴MN∥OC， 当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC＝MN， 当点P在线段OB上时，则有MN＝﹣m2+3m， ∴﹣m2+3m＝3，此方程无实数根， 当点P不在线段OB上时，则有MN＝﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m， ∴m2﹣3m＝3，解得m或m， 综上可知当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为或． 5．综合与探究 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B位于点A的右边），与y轴交于点C，连接B