2024年中考数学重点难点问题课堂课后精讲精练讲义二次函数系列（七大专题突破高分附解析全国通用）

专题01 二次函数与线段周长问题 【知识与方法概要】 对于二次函数与线段周长的关系，在解决这类问题时，我们需要明确二次函数和线段周长的基本概念，并理解它们之间的关联。 首先，二次函数的一般形式，其图像是一个抛物线。而线段周长则是指线段上各点之间的距离之和，对于简单的线段AB，其周长即为AB的长度。 当二次函数与线段周长结合时，通常涉及的是求抛物线与线段交点的问题。解题的关键在于联立抛物线和线段的方程，求解交点坐标。一旦得到交点坐标，就可以利用距离公式计算线段长度，进而得到线段周长。 在解题过程中，我们可以总结以下方法与技巧： 设定方程： 根据题目条件，设定二次函数和线段的方程。 确保方程中的参数和变量与题目描述一致。 联立求解： 将二次函数方程与线段方程联立，形成一个方程组。 选择合适的代数方法（如消元法、代入法等）来解这个方程组，找出交点坐标。 计算线段长度： 利用距离公式计算交点间的距离，即线段的长度。 距离公式中为两交点的坐标。 确定线段数量与位置： 由于抛物线的对称性，有时交点可能不止一个。 根据题目要求，确定需要计算的线段数量及其位置。 求和得到周长： 将所有相关线段的长度相加，得到最终的线段周长。 检查答案： 最后，检查计算得到的线段周长是否合理，是否符合题目要求和实际情况。 通过掌握这些方法与技巧，我们可以更准确地解决关于二次函数与线段周长的问题。同时，这些技巧也有助于培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。 在实际教学中，强调以下几点： 鼓励学生多画图，通过图形直观理解问题，辅助解题过程。 提醒学生在计算过程中保持细心，避免因为计算错误导致答案偏差。 引导学生总结解题经验，形成自己的解题策略，提高解题效率。 综上所述，解决二次函数与线段周长问题的方法主要是联立方程求解交点，并利用距离公式计算线段长度。通过掌握这些方法与技巧，并注重培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，我们可以更好地帮助学生解决这类问题。 【课堂课后精讲精练】 1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线经过点，顶点为，且抛物线与轴的交点B在和之间（不含端点），则下列结论：    ①当时，； ②当的面积为时，； ③当为直角三角形时，在内存在唯一点P，使得的值最小，最小值的平方为． 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 2．（2023·浙江湖州·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴的交点坐标为，图象的顶点为M．矩形的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为．    (1)求c的值及顶点M的坐标， (2)如图2，将矩形沿x轴正方向平移t个单位得到对应的矩形．已知边，分别与函数的图象交于点P，Q，连接，过点P作于点G． ①当时，求的长； ②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 3．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点． ①当取得最大值时，求的值和的最大值； ②当是等腰三角形时，求点的坐标． 4．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值； (3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．    (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 6．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．    (1)求抛物线的解析式； (2)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段为邻边作矩形，当矩形的周长为11时，求线段的长； (3)点在直线上，点在平面内，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 7．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标； (3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐