第六章 计数原理章末总结-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第三册)

人教A版2019选修第三册 第 六 章 计数原理 章末总结 知识导图 01 知识梳理 PART.01 知识梳理 分类加法计数原理： 完成一件事有2类不同的方案，第1类方案有m种方法；第2类方案有n种方法； 则完成该事共有m+n种方法. 分步乘法计数原理： 完成一件事有2个步骤，第1步有m种方法；第2步有n种方法； 则完成该事共有m×n种方法. 两个计数原理 注意：分类时要“不重不漏”： ①类与类之间要互斥(保证不重复)； ②总数要完备(保证不遗漏)． 两类方案中的方法各不相同，用任何一种方法都可以完成这件事. 知识梳理 排列数：(m≤n) 从n个不同元素中取出p个元素，按一定的顺序排成一列，叫做n取p的一个排列. 知识梳理 组合数： (m≤n) 从n个不同元素中取出p个元素作为一组，叫做n取p的一个组合． 知识梳理 知识梳理 知识梳理 常见的计数问题及方法 多面手问题：选定一个类型的单面手，以其入选人数分类 组数/排队问题：优先考虑特殊位置或特殊元素(个位的奇偶/首位不为0/排头排尾等) 至多/至少问题：正难则反，总方法数－反面方法数 不相邻问题：插空法 相邻问题：捆绑法 相同元素分组：隔板法(n个相同元素分k份，需k－1块不相邻的隔板放入n个空隙) (适用于相同物品或实习/参赛名额等的分组分配) 不同元素的分组： ①完全不均匀分组：各组分步选取 ②完全均匀分n组：各组分步选取，除以n! ③部分均匀分组：各组分步选取，有k组均匀, 则除以k! 定序问题：除阶乘法(所有元素的全排列数除以定序元素的全排列数) 知识梳理 涂色/种植问题常见方法 (1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析． (2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题， 用分类加法计数原理分析． (3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题． (4)种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数． 02 典例分析 PART.02 典例分析 例1.三个比赛项目，六人报名参加。 (1)每人参加一项有多少种不同的方法？ (2)每项１人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？ (3)每项１人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？ （1）36 =729 （2）6×5×4=120 （3）63=216 典例分析 例 2．用 0，1，2，3，4，5 这六个数字，完成下面问题 （1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于 1 000 的自然数？ （5）若直线ax by + = 0中的a 、b可以从已知六个数字中任取 2 个不同的数字，则方程表示的不同的直线共有多少条？ 解：（1）由于百位不为 0，则百位有 5 种选择，个位、十位有 共可以组成5×20=100个数字不重复的三位数 典例分析 （2）根据题意，末位数字可以为 1、3、5，有种选择， 首位数字不能为 0，有种选择， 中间 1 位，有种排法， 则不重复的三位奇数共有种 （3）不重复的小于 1 000 的自然数分为不重复的一位数和二位数、三位数， 不重复的一位数有 6 个； 不重复的二位数有5×5=25个； 不重复的三位数有5×5×4=100个． 则可以组成6 + 25 + 100 =131个数字不重复的小于 1 000 的自然数； 典例分析 （4）①若a = 0 ，b≠ 0，即有 1 条直线；②若b = 0 ， a≠ 0，即有 1 条直线； ③若a ≠ 0 ，b≠ 0，可得5×4=20， 但x +2 y = 0，2x +4y =0 ，2x+ y =0 ，4x+2y =0，重复了两条直线， 则方程表示的不同的直线共有 1+1+ 20−2=20条． 典例分析 例3. 6个女学生(其中有1个领唱)和2个男学生分成两排表演． (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男学生站在后排，每排4人，有多少种不同的排法？ 解　(1)要完成这件事分三步． 典例分析 例4.如图所示，某城市M，N两地间有4条东西街道和6条南北街道．若规定只能向东或向北沿图中路线行走，则从M到N有________种不同的走法．(用数字作答) 56 典例分析 典例分析 典例分析 典例分析 常数项：字母的指数是0的项 有理项：字母的指数是整数的项 典例分析 典例分析 赋值法 03 数学文化与计数原理 PART.03 典例分析 数学文化与计数原理 数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，是数学史、数学与文化学、社会学的交叉学科.其内涵是一种理性思维方法在实践过程中不断探索形成的数学史