第7章 随机变量及其分布 章末复习与总结-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册教用课件(人教A版)

该高中数学课件聚焦概率与统计核心内容，涵盖条件概率、全概率公式、离散型随机变量分布列、均值方差、二项分布、超几何分布及正态分布，通过思维导图梳理知识体系，以实际问题（如早高峰出行、旅游满意度）导入，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 其特色在于以生活实例（如种子发芽、零件直径检测）为载体，强化数学思维中的逻辑推理与数学运算，通过“反思感悟”提炼方法，结合跟踪训练巩固。培养学生用数学眼光观察现实、用数学语言表达规律的能力，助力学生提升核心素养，也为教师提供系统复习资源与教学案例。

章末复习与总结 数学·必修第一册 一、条件概率及全概率公式 1. 求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间Ω，先计算P（A） 和P（AB），再利用P（B｜A）＝ 求解；另一种是缩小 样本空间，即以A为样本空间计算AB的概率. 数学·必修第一册 2. 全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事 件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则 对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）.全概 率公式的实质是把事件B拆分成互斥事件的和，是加法公式和乘法 公式的综合运用. 数学·必修第一册 【例1】　（1）袋中有5个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个， 甲、乙两人按顺序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A：甲和乙 至少一人摸到红球，事件B：甲和乙摸到的球颜色不同，则P（B｜ A）＝（　C　） A. B. C C. D. 解析： 依题意，事件AB：甲、乙只有一人摸到红球，则P（AB）＝ ＝ ，而P（A）＝1－（ ）2＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ × ＝ .故选C. 数学·必修第一册 （2）随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择 合理的出行方式.某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天 早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为 ， ， ，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为 ， ， ，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概 率是 ⁠. 　 数学·必修第一册 解析： 设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交 车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D“表示迟到”，由 题意可知：P（A）＝P（B）＝P（C）＝ ，P（D｜A）＝ ，P（D｜B）＝ ，P（D｜C）＝ ，则P（D）＝P （A）P（D｜A）＋P（B）P（D｜B）＋P（C）P（D｜ C）＝ ×（ ＋ ＋ ）＝ ，P（AD）＝P（A）P（D｜ A）＝ × ＝ ，若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是P （A｜D）＝ ＝ ＝ . 数学·必修第一册 反思感悟 1. 计算条件概率时，应明白是在谁的条件下，计算谁的概率；明确P （A），P（B｜A）以及P（AB）三者间的关系，实现三者间的 互化. 2. 理解全概率公式P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）中化整为零的 计算思想. 3. 掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心 素养. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 采购员要购买10个一包的电器元件.他的采购方法是：从一包中随机 抽查3个，如果这3个元件都是好的，他才买下这一包.假定含有4个次 品的包数占30%，而其余包中各含1个次品.求： （1）采购员拒绝购买的概率； 解：设B1＝“取到的一包含4个次品”，B2＝“取到的一包含1 个次品”，A＝“采购员拒绝购买”， 则P（B1）＝ ，P（B2）＝ . P（A｜B1）＝1－ ＝ ，P（A｜B2）＝1－ ＝ . （1）由全概率公式得到P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P （B2）P（A｜B2）＝ × ＋ × ＝ . 数学·必修第一册 （2）在采购员拒绝购买的条件下，抽中的一包中含有4个次品的 概率. 解： P（B1｜A）＝ ＝ ＝ . 数学·必修第一册 二、离散型随机变量的分布列、均值和方差 　　均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值 的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离 散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛. 数学·必修第一册 【例2】　随着五一假期的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解 A，B两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样 的方法，获得关于A旅游景点的问卷100份，关于B旅游景点的问卷80 份.问卷中，对景点的满意度等级为：非常满意、满意、一般、差 评，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下： 非常满意 满意 一般 差评 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 8 数学·必修第一册 假设用频率估计概率，且游客对A，B两个旅游景点的满意度评价相 互独立. （1）从所有（人数足够多）在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从 所有（人数足够多）在B旅游景点的游客中随机抽取2人，估计 这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率； 数学·必修第一册 解：（1）设“这4人中恰有2人给出非常满意的评价”为事 件C， 由表中数据可知，游客在A景点给出“非常满意”评价的概 率为 ＝ ， 游客在B景点给出“非常满意”评价的概率为 ＝ ， 则P（C）＝（ ）2（1－ ）2＋ · （1－ ） · （1－ ）＋（1－ ）2（ ）2＝ . 数学·必修第一册 （2）根据上述数据，你若去旅游，你会选择A、B哪个旅游景点？说 明理由. 解： 设一位游客对A景点的满意度评分为X，一位游客对 B景点的满意度评分为Y， 由题表中数据得X的分布列为： X 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ Y的分布列为： Y 1 2 3 4 P ​ ​ ​ ​ 数学·必修第一册 则E（X）＝4× ＋3× ＋2× ＋1× ＝ ， D（X）＝（ ）2× ＋（－ ）2× ＋（－ ）2× ＋ （－ ）2× ＝ ， E（Y）＝4× ＋3× ＋2× ＋1× ＝ ， D（Y）＝（－ ）2× ＋ × ＋ × ＋ × ＝ ， 显然E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y），所以选择B景点. 数学·必修第一册 反思感悟 　　运用均值与方差进行决策时，一般是先求出随机变量的均值，考 虑它们的平均水平；一旦平均水平一致，再计算随机变量的方差，考 虑它们的波动程度，然后根据实际情况做出决策.此类问题主要考查 均值与方差的含义及运算公式，目的是提升逻辑推理与数学运算的核 心素养. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. （多选）如图是离散型随机变量X的概率分布直观图，其中3a＝5b，2b＝3c，则（　　） A. a＝0.5 B. E（X）＝2.3 C. D（X）＝0.61 D. D（2X）＝1.22 数学·必修第一册 解析： 由题知解得a＝0.5，b＝0.3，c＝ 0.2，A选项正确；所以E（X）＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.5＝ 2.3，B选项正确；D（X）＝（1－2.3）2×0.2＋（2－2.3） 2×0.3＋（3－2.3）2×0.5＝0.61，C选项正确；D（2X）＝22·D （X）＝2.44，D选项错误.故选A、B、C. 数学·必修第一册 2. 离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以x，y （x，y∈N）代替，分布列如下： X＝i 1 2 3 4 5 6 P（X＝ i） 0.21 0.20 0.x5 0.10 0.1y 0.10 则P（ ＜X＜ ）＝ ⁠. 0.45　 数学·必修第一册 解析：由题意得0.21＋0.20＋0.05＋0.1×x＋0.10＋0.10＋ 0.01×y＋0.10＝1，化简得10x＋y＝24，又x，y∈N且x， y∈[0，9]，所以x＝2，y＝4，所以P（ ＜X＜ ）＝P（X＝ 2）＋P（X＝3）＝0.20＋0.25＝0.45. 数学·必修第一册 三、二项分布 　　把握二项分布的关键是理解随机试验中n次、独立、重复这些字 眼，即试验是多次进行，试验之间是相互独立的，每次试验的概率是 相同的. 【例3】　某种植户对一块地的n（n∈N*，n＞2）个坑进行播种，每 个坑播种3粒种子，每粒种子发芽的概率均为 ，且每粒种子是否发芽 相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进 行补种，否则要补种. 数学·必修第一册 （1）从n个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？ 解： 先把（n－2）个坑排好共（n－1）个空，再把剩 下的2个坑往（n－1）个空里放，共有 ＝ 种方案. 数学·必修第一册 （2）对于单独一个坑，需要补种的概率是多少？ 解： 设A＝“种子发芽”，且P（A）＝ ， 每个坑播种3 粒种子，发芽的粒数X～B（3， ）， 一个坑需要补种，意味着X≤1，考虑两粒种子发芽的概率P （X＝2）＝ （ ）3＝ ， 三粒种子发芽的概率P（X＝3）＝（ ）3＝ ， 所以一个坑需要补种的概率P（X≤1）＝1－P（X＝2）－P （X＝3）＝1－（ ＋ ）＝ . 数学·必修第一册 （3）当n取何值时，有3个坑要补种的概率最大？最大概率为多少？ 解： 由（2）可知，n（n∈N*，n＞2）个坑中要补种的坑 数Y～B（n， ），所以有3个坑要补种的概率为P（Y＝3） ＝ （ ）n， 要想有3个坑要补种的概率最大，即满足不等式组 解得5≤n≤6，又n∈N*， 所以n＝5或6时，有3个坑要补种的概率最大，此时最大概率为 （ ）n＝ . 数学·必修第一册 反思感悟 　　利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项 分布的模型，也就是看它是否为n重伯努利试验，随机变量是否为在 这n重伯努利试验中某事件发生的次数.此类问题主要考查独立重复试 验、n重伯努利实验和二项分布，通过对概率计算的考查，体现了数 据分析、数学运算和数学建模等核心素养. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等 可能地向左或向右移动一个单位长度，共移动6次，则事件“移动6次 后，质点位于－2的位置”的概率为 ⁠. 　 解析：因为质点每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，所以每 次向左移动和向右移动的概率均为 ，若质点从原点O出发，移动6次 后位于－2的位置，则该质点需要向左移动4次，向右移动2次，设事 件A＝“移动6次后，质点位于－2的位置”，则P（A）＝ × （ ）4×（ ）2＝ . 数学·必修第一册 四、超几何分布 　　超几何分布的两个特点：（1）超几何分布是不放回抽样问题； （2）随机变量为抽到的某类个体的个数. 【例4】　一盒乒乓球中共装有2只黄色球与4只白色球，现从中随机 抽取3次，每次仅取1个球. （1）若每次抽取之后，记录抽到乒乓球的颜色，再将其放回盒中， 记抽到黄球的次数为随机变量X，求P（X＝1）及E（X）； 数学·必修第一册 解： 由题意知，每次取到黄球的概率为 ＝ ，故X～B （3， ），因为P（X＝k）＝ ×（ ）k×（ ）3－k（k＝0，1，2，3），代入k＝1得P（X＝1）＝ ＝ ，同理可得P（X＝0）＝ ，P（X＝2）＝ ，P（X＝3）＝ ， 故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝1.（或者根据二项分布的期望公式E（X）＝np＝3× ＝1直接求得结果） 数学·必修第一册 （2）若每次抽取之后，将抽到的乒乓球留在盒外，记最终盒外的黄 球个数为随机变量Y，求P（Y＝1）及E（Y）； 解：由题意可知Y服从超几何分布，P（Y＝k）＝ （k ＝0，1，2）， 代入k＝1得P（Y＝1）＝ ＝ ， 同理可得P（Y＝0）＝ ，P（Y＝2）＝ ， 故E（Y）＝0× ＋1× ＋2× ＝1. 数学·必修第一册 （3）在（1）（2）的条件之下，求P（｜X－Y｜≤1）. 解：由（1）（2）知，P（｜X－Y｜≤1）＝1－P（｜X－ Y｜≥2） ＝1－P（X＝0，Y＝2）－P（X＝2，Y＝0）－P（X＝3，Y ＝0）－P（X＝3，Y＝1） ＝1－ × － × － × － × ＝1－ ＝ . 数学·必修第一册 反思感悟 　　利用超几何分布模型解决离散型随机变量的分布列问题时，先判 断所给问题是否属于超几何分布，并明确离散型随机变量的可能取值 以及每个值所表示的意义，再利用超几何分布的公式，写出离散型随 机变量取每个值的概率，最后按规范形式写出其分布列. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英 语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问.求： （1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率； 解： 设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P（A） ＝ ＝ . 数学·必修第一册 （2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列. 解： 依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0， 1，2，3， P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ，P（X＝2） ＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 数学·必修第一册 五、正态分布 　　解答正态分布的实际应用题，关键是如何转化，同时注意以 下两点： （1）注意“3σ”原则：记住正态总体在三个区间内取值的概率； （2）注意数形结合：由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体 现了数形结合的重要思想，因此在解题时要灵活运用对称性并 结合图象解决问题. 数学·必修第一册 【例5】　某工厂生产的T型零件的外直径服从正态分布X～N （10，0.22），从该工厂上午和下午生产的T型零件中各随机取 出一个，测得其外直径分别为9.52 mm和9.98 mm，试分析该工 厂这一天的生产状况是否正常. 解：∵X～N（10，0.22），∴μ＝10，σ＝0.2. ∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6. ∵9.52∈[9.4，10.6]，9.98∈[9.4，10.6]， ∴该工厂这一天的生产状况是正常的. 数学·必修第一册 反思感悟 　　利用服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量X在三个特殊区间上 取值的概率，可以解决两类实际问题： （1）估计在某一范围内的数量，具体方法是先确定随机变量在该范 围内取值的概率，再乘样本容量即可； （2）利用3σ原则作决策.决策步骤如下：①确定一次试验中取值a是 否落入范围[μ－3σ，μ＋3σ]内；②作出判断，若a∈[μ－ 3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设，若a∉[μ－3σ，μ＋3σ]，则 拒绝统计假设. 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 随机变量X服从正态分布X～N（1，σ2）.若P（1≤X＜3）＝ 0.2，则P（X＜1｜｜X｜＞1）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　因为P（1≤X＜3）＝0.2，所以P（X＜－1）＝P（X ＞3）＝0.5－0.2＝0.3，又P（｜X｜＞1）＝0.5＋0.3＝0.8，所 以P（X＜1｜｜X｜＞1）＝ ＝ ＝ ，故选B. 数学·必修第一册 2. 某工厂生产一批零件，其直径X～N（10，4），现在抽取10 000件 进行检查，则直径在（12，14）之间的零件大约有 件. （注：P（μ－σ＜X≤μ＋σ）≈0.682 6，P（μ－2σ＜X≤μ＋ 2σ）≈0.954 4，P（μ－3σ＜X≤μ＋3σ）≈0.997 4） 解析：∵X满足正态分布X～N（10，4），μ＝10，σ＝2，∴P （8＜X≤12）≈0.682 6，P（6＜X≤14）≈0.954 4，∴P（12＜X ＜14）≈ ＝0.135 9，∴直径在（12，14）之间的零件 大约有1 359件. 1 359　 数学·必修第一册 $