第6章 数学探究 杨辉三角的性质与应用（精品课堂）-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第三册【精彩三年】课程探究与巩固课件PPT（人教版）浙江专用

浙江良品图书有限公司 精彩三年课程探究与巩固数学选择性必修第三册 第六章　计数原理　 数学探究　杨辉三角的性质与应用 单击此处编辑母版文本样式 1 如图所示的数字三角形叫做杨辉三角， 单击此处编辑母版文本样式 下面为同学们的探究提供一些素材： 1．杨辉三角与组合恒等式 例1 利用杨辉三角验证组合恒等式： 解：如图， 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 2．杨辉三角与数阵(数列) 例2 观察下列三角形数表： 假设第n行的第二个数为an(n≥2，n∈N*). (1)依次写出第六行的所有数字； (2)归纳出an＋1与an的关系式并求出an的表达式； (3)设anbn＝1，求证：b2＋b3＋…＋bn<2. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 3．杨辉三角的应用 例3如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条 路，如果从A处走到B处 (只能由北到南，由西 向东)，那么不同的走法有_____种 【解析】 因为每一个路口往前走都有2种方法， 如图，每一个路口所标注的数字就是走到这个 路口的走法数，这些数字构成杨辉三角数，所 以走到B处的走法共有70种． 70 单击此处编辑母版文本样式 1． 观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an (n≥2， n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝____________． －(n≥2) 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 3．我们改变杨辉三角的规则，作三项式(1＋x＋x2)n系数三角， (1＋x＋x2)0＝1， (1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2， (1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4， (1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6， (1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8， 　 …… 探究展开式系数的规律，写出(1＋x＋x2)5的展开式． 单击此处编辑母版文本样式 解：从这些等式可知，在(1＋x＋x2)n中，当n＝1，2，3，4， 5，…时，展开式的系数如下表： 观察(1＋x＋x2)2的展开式可知，系数3等于它顶上的一个数与 肩上的两个数之和，系数6，7也具有这样的性质，(1＋x＋x2)4 的展开式系数也具有这样的性质，所以(1＋x＋x2)5＝1＋5x＋ 15x2＋30x3＋45x4＋51x5＋45x6＋30x7＋15x8＋5x9＋x10. 单击此处编辑母版文本样式 单击此处编辑母版文本样式 5．在游乐场，有一种如图所示的弹子游戏，小球 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地 从两侧跌落至第二层，碰到第二层阻挡物后再 等可能地从两侧跌落至第三层，如此一直下落， 最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品．试问：为什么 两边区域奖品价值高于中间区域的奖品价值？ 解：弹子通过每一层每 个通道的方法数是： 单击此处编辑母版文本样式 计算弹子通过各通道的概率，可得“概率三角形”如图： 从“概率三角形”可以看出，弹子跌落在两侧的 概率较小，中间区域的概率较大，所以两边区 域的奖品价值高于中间区域的奖品价值． 单击此处编辑母版文本样式 $