5.2.2用函数模型解决实际问题课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第一册

第五章 函数应用 5.2.2 利用函数模型解决实际问题 1.通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养． 2.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养． 会利用已知函数模型解决实际问题． 能建立函数模型解决实际问题． 2 数学模型是针对某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构．其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决． 3 在之前的学习中，我们学过哪些函数？ 名称 解析式 条件 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数函数模型 ， 对数函数模型 ， 幂函数模型 4 某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示： 年份 2018 2019 2020 2021 x(年) 0 1 2 3 生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8 (1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式； 解：(1) 设所求的函数为． 把直线通过的两点和代入上式， 解方程组，可得，． 所以它的一个函数关系式为． 根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上． 5 某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示： (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； 解：(2)由(1)中得到的关系式为， 计算出年和年的国内生产总值分别为 ， ． 与实际的生产总值相比，误差不超过万亿元． 年份 2018 2019 2020 2021 x(年) 0 1 2 3 生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8 6 某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示： (3)利用关系式预测2022年该国的国内生产总值． 解： (3)年，即，由上述关系式， 得， 即预测年该国的国内生产总值约为万亿元． 年份 2018 2019 2020 2021 x(年) 0 1 2 3 生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8 根据表格信息，画出图象； 根据图象特征，选定函数模型； 用待定系数法求出函数解析式； 检验模型． 7 如图1是某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象． (1)试说明图上点、点以及射线上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图、图、图中的票价分别是多少元？ 解：(1)点表示无人乘车时收支差额为元， 点表示有人乘车时收支差额为元， 线段上的点表示亏损， 延长线上的点表示盈利． 图1 图2 图3 8 如图1是某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象． (1)试说明图上点、点以及射线上的点的实际意义； (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？ (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图、图、图中的票价分别是多少元？ 解： (2)图的建议是降低成本，票价不变， 图的建议是提高票价． (3)斜率表示票价． (4)图、中的票价是元， 图中的票价是元． 与轴交点由变为 斜率不变 与轴交点不变 斜率变大 图1 图2 图3 斜率 特征 特征 9 要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是人·天和人·天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 设在软土地带工作的人数为人， 则在硬土地带工作的人数为人， 在软土地带筑路时间为：， 在硬土土地带筑路时间为：， 取较大值得到关于 全队筑路时间的函数 最小值 10 要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是人·天和人·天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 解：设在软土地带工作的人数为人，则在硬土地带工作的人数为人． 根据题意，在软土地带筑路时间为， 在硬土地带筑路时间为，其中，． 因为函数在区间上是减函数，函数在区间上是增函数， 所以全队筑路工期为： 11 要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．