5.1.2利用二分法求方程的近似解课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第一册

第五章 函数应用 5.1.2利用二分法求方程的近似解 1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解． 2.体会函数在解方程中的作用． 利用二分法求方程的近似解． 求方程近似解的精确度的把握． 2 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，大约有多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？ 故障 故障 要把故障可能发生的范围缩小到左右，即两根电线杆附近，要查多少次？ 8次 3 我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如，那么如何确定方程的解呢？ 方程一定有解吗？如何确定解的存在性？ 函数有零点 函数的图象与轴有公共点 方程有实数解 ⇔ ⇔ ⇔ 零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 4 我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如，那么如何确定方程的解呢？ 能否找出方程的一个实数解的存在区间呢？ 解：设， 容易得出，， 由零点存在定理，可知在区间内存在零点， 即方程的一个实数解的存在区间为． 能否求这个实数解的近似值呢？ 如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值． 5 如果要获得方程精确度为的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？ 考虑的中点，又，，． 根据函数零点存在定理可知，函数在区间内存在零点， 即在区间内存在实数解，区间长度为， 因此，区间内任意一个数都是满足精确度的近似解． 已知在区间内存在实数解，即函数在区间内存在零点， 区间长度为 区间长度至少减半 定义 设是方程的一个解，给定正数，若满足，就称是满足精确度的近似解． 6 定义 设是方程的一个解，给定正数，若满足，就称是满足精确度的近似解． 如果要获得方程精确度为的近似解，如何逐步缩小区间？ 通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值． 给定精确度，为什么当时，区间中任意一个值都是满足精确度的近似值？ 当时，所在的区间中任意一个值与的误差都不超过，当然也就不超过．区间中任意一个值都是满足精确度的近似值． 7 请你利用计算器重复这样的步骤，继续缩小区间，直到区间长度小于为止．将计算结果填在下表中，并据此画出函数在区间内的大致图象． 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 2 -1.307 3 1.099 1 第2次 2.5 -0.084 3 1.099 0.5 第3次           第4次           第5次           第6次         第7次           第8次           2.5 2.5 2.53125 2.5 2.53125 2.53125 -0.084 -0.084 -0.009 -0.084 -0.009 -0.009 2.75 2.625 2.5625 2.5625 2.546875 2.5390625 0.512 0.215 0.066 0.066 0.029 0.010 0.25 0.125 0.03125 0.0625 0.015625 0.0078125 8 你给出的精确度为的近似解吗？ 次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度 第1次 2 -1.307 3 1.099 1 第2次 2.5 -0.084 3 1.099 0.5 第3次           第4次           第5次           第6次         第7次           第8次           2.5 2.5 2.53125 2.5 2.53125 2.53125 -0.084 -0.084 -0.009 -0.084 -0.009 -0.009 2.75 2.625 2.5625 2.5625 2.546875 2.5390625 0.512 0.215 0.066 0.066 0.029 0.010 0.25 0.125 0.03125 0.0625 0.015625 0.0078125 ∵ ， ∴区间内任意一点都可以作为解的近似值． 如：取作为函数零点的近似值，也即方程的近似解． 9 上面这种求方程的近似解的方法，它的总体思路是什么？