5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性6.1获取数据的途径(2)课件-2023-2024学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第一册

第五章 函数应用 5.1.1 利用函数性质判断方程解的存在性 1.理解求方程的实数解就是求函数的零点,体会函数的作用. 2.通过结合图像与解函数零点问题,培养数学抽象、数学运算素养. 理解零点存在定理. 理解零点存在定理的条件. 2 在初中,我们已经学习了用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况,能否换一种方法,从函数的角度研究如何判定一元二次方程实数根的存在性呢? 3 如何从函数的角度判定方程实数根的存在性呢? 观察函数的图象, 由于函数的图象是连续的曲线,因此点与点之间的那部分曲线必然穿过轴,即在区间内必有一点,使; 同理,在区间内也必有一点,使. 因此,方程有两个不相等的实数根. 抛物线 开口向上 4 定义 使得的数称为方程的解,也称为函数的零点. 的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标. 在函数零点的定义中,蕴含着哪些等价关系? 函数有零点 函数的图象与轴有公共点 方程有实数解 函数的零点是点吗? 函数的零点是数,不是点. 5 如图,观察函数,零点所在区间,以及这一区间内函数图象与轴的关系,你能用,的取值刻画这种关系吗? 在区间内有零点, 它是方程的一个根. 图象连续不断 穿过轴 在区间内有零点, 它是方程的一个根. 在内有零点, 它是方程的另一个根. 图象连续不断 穿过轴 你能概括上面两种情况的共性吗? 在包含零点的某区间内,函数的图象“穿过”轴, 零点两侧的函数值符号相反,即. 6 如果函数在区间上满足,是否一定能得到函数在区间内存在零点?为什么? 不一定. 如,,,, 但是该函数在内没有零点.因为函数的图象是断开的,虽然函数值从负变到正,但图象却没有“穿过”轴. x y O 除了函数在区间上满足,根据前面的讨论,追加什么条件就能保证函数在区间内存在零点? 函数的图象在给定区间上的图象连续不断. 7 零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即,则在开区间内,函数至少有一个零点,即在区间内相应的方程至少有一个解. 如果满足零点存在定理的条件,那么方程在区间内只有一个解吗? 不一定. 如:,, 但是该函数在区间内有三个零点,和. 即方程在区间内有三个解, x y –1 1 2 3 4 –1 –2 1 2 O 运用零点存在定理只能判断方程解的存在性,对于解的具体个数,还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究. 8 若,则方程在区间内一定没有解吗? x y O 但方程在区间内有个解. x y –1 –2 1 2 1 2 3 4 O 在区间上, , 所以. 但方程在区间内有零点. 即是方程在区间内有解的充分条件而非必要条件. 若函数在闭区间上图象连续,则 方程在区间内有解 不一定 9 方程在区间内有没有解?为什么? 解:设函数,在区间上有 ,. 又因为函数的图象是一条连续的曲线,所以由零点存在定理可知方程在区间内有解,即在区间内有解, 故方程在区间内有解. 方程在区间内有没有解. 函数在区间内有没有零点. 10 判定方程有两个不相等的实数根,且一个根大于,另一个根小于. 解:设函数,显然有. 画出函数的图象,如图: 观察得,,. 在区间,内分别应用零点存在定理,可知在区间,内,一元二次方程各有一个实数根. 所以方程有两个不相等的实数根,且一个根大于,另一个根小于. 构造函数,在小于,大于的范围内各取一个区间,分别运用零点存在定理即可. 11 求证:对于任意一条封闭的曲线,都存在外切正方形. 证明:记封闭曲线为,在初始时刻的外切四边形为矩形, 它的边长分别为和.若,则结论成立;若,不妨设. 现在,保持不动,逆时针转动矩形,转动过程中始终保持它与外切,设转动角为,则与边长之差可以看成在上的连续函数, 且,. 由函数的零点存在定理可知,一定存在,使. 这时,,封闭曲线的外切矩形是正方形. 12 已知函数的图像是连续不断的,有如下,的对应值表: B 解:由已知数表可知:,,, 故函数在,,上分别存在零点,故至少有个零点.选B. 则函数在区间上的零点至少有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 13 函数的零点所在的大致区间是( ) A. B. C.和 D. B 解:∵,,∴在内无零点,错; ∵,∴,∴在内有零点.选. 又在上单调递增,故如果有零点,只能是一个零点。 结合前面的分析, 在内有零点,故错误; 14 函数零点的个数是_. 1 解:因为,;所以, 又的图像在上是不间断的,所以在上必有零点. 又在上是递增的, 所以零点只有个. 判断函数零点个数的方法: 方程法 判断方程的解的个数 定理法 若函数在某区间上单调且满足零点存在定理,则在该区间内只有个零点 图象法 求的零点,借助函数图象转化为求的交点 15 课堂小结 函数有零点 函数的图象与轴有公共点 方程有实数解 在函数零