2024年九年级中考数学复习讲义 二次函数之直角三角形存在性问题

二次函数之直角三角形存在性问题 一．例题 1．如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）在x轴上是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）令x＝0时，则， ∴B（0，1）， 将B（0，1），D（1，0）的坐标代入，得： ， 解得， ∴二次函数解析式； （2）联立一次函数与二次函数解析式得： ， 解得：或， ∴C（4，3）， 设符合条件的点P存在，令P（a，0）： ①当P为直角顶点时，如图1：过C作CF⊥x轴于F； ∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°， ∴∠OBP＝∠FPC， ∵∠BOP＝∠CFP＝90°， ∴Rt△BOP∽Rt△PFC， ∴， 即， 整理得a2﹣4a+3＝0， 解得a＝1或a＝3； ∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0）， ②若点B为直角顶点，则有PB2+BC2＝PC2． 即有12+a2+42+22＝32+（4﹣a）2． 解得a＝0.5，P点的坐标为（0.5，0）． ③若点C为直角顶点，则有PC2+BC2＝PB2， 即有32+（4﹣a）2+42+22＝12+a2， 解得a＝5.5，P点的坐标为（5.5，0）． 综上所述，满足条件的点P有四个，分别是（1，0）或（3，0）或或（5.5，0）； 2．综合与探究 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P是第三象限内二次函数图象上一动点，设点P的横坐标为m，过点p作直线PE∥BC分别交x轴，y轴于点D，E． （1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的表达式； （2）连接PC，试探究：在点P的运动过程中，是否存在点P，使得△PCE是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由得， 当x＝0时，y＝﹣4 ∴点C的坐标为（0，﹣4）． 当y＝0时，， 解得x1＝﹣4，x2＝2 ∵点A在点B的左侧， ∴点A，B的坐标分别为（﹣4，0），（2，0）． 由上可设BC的表达式为y＝kx﹣4，把B点坐标代入可得：k＝2， ∴直线BC的表达式为y＝2x﹣4； （2）∵PE∥BC， ∠PEC＝∠OCB＜90°， ∵， ∴， ，， ∴①当∠CPE＝90°时，PC2+PE2＝CE2即， ∴m＝﹣3或m＝0（舍去）； ②当∠PCE＝90°时，则PC⊥y轴， ∴， ∴m＝﹣2或m＝0（舍去）， 综上所述， 存在点P，使得△PCE是直角三角形，此时m1＝﹣2，m2＝﹣3． 3．综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（6，0）两点，交y轴于点C，连接BC，AC． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请直接写出Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将A（﹣1，0），B（6，0）代入y＝x2+bx+c，得 ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x﹣6 （2）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点C、B、Q的坐标得，BC2＝72，，， 当BC为斜边时，则， 解得：m， 即点Q或； 当BQ为斜边时，则， 解得：； 即点； 当CQ为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为：，，， 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B的坐标为（0，﹣4），点C的坐标为（2，0）． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）点E是抛物线的对称轴上的一点，若△ABE是直角三角形，直接写出点E的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为yx2+x﹣4； （2）设点E（﹣1，t）， 由点A、B、E的坐标得，AB2＝32，AE2＝9+t2，BE2＝1+（t+4）2， 当AB为斜边时，则32＝9+t2+1+（t+4）2， 解得：t＝﹣2±， 即点E（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣2）； 当AE为斜边时，则9+t2+1+（t+4）2＝32， 解得：t＝﹣5， 即点E的坐标为：（﹣1，﹣5）； 当BE为斜边时，则32+9+t2＝1+（t+4）2， 解得：t＝3， 即点E的坐标为：（﹣1，3）； 综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，2）或（﹣1，2）． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC为直