2024年九年级中考数学复习讲义 二次函数之相似三角形存在性问题

二次函数与相似三角形存在性问题 一．例题 1．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0），对称轴CD与x轴交于点C，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为CD右侧抛物线上的一个动点（点P与顶点D不重合），PQ⊥CD于点Q，当△PQD与△ACD相似时，求点P的坐标． 解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3，得 ∴解得a＝﹣1，b＝﹣2， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）抛物线与x轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣3+1＝﹣1． ∴AC＝﹣1﹣（﹣3）＝2． 把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3得，y＝4． ∴CD＝4． 设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3）（m＞﹣1）， ∴PQ⊥CD， ∴Q点的坐标为（﹣1，﹣m2﹣2m+3）． ∴DQ＝4﹣（﹣m2﹣2m+3）＝m2+2m+1， PQ＝m﹣（﹣1）＝m+1． ①当△PQD∽△ACD时， ， 即， 解得m1＝﹣1（舍去），m2＝1． 当m＝1时，﹣m2﹣2m+3＝0． ∴点P的坐标为（1，0）． ②当△DQP∽△ACD时， ， 即， 解得m1＝﹣1（舍去），， 当，， ∴点P的坐标为． ∴点P的坐标为（1，0）或． 2．如图1，点A（a，0），B（0，b），a，b满足，抛物线经过A，B两点，点C（﹣1，0）关于点B的对称点M刚好落在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）过点M作MD平行于y轴交AB于点D，若点G为抛物线上的一点，点H在x轴上，连接AG，AH，GH．是否存在点H使得△ADM与△AGH相似？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵， ∴， ∴a＝3，， 又∵点A（a，0），B（0，， ∴A（3，0），B（0，， ∵点C（﹣1，0）和点M关于点B（1，对称，设点M（x，y）， ∴， 解得， ∴M（1，； 设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，由A（3，0），B（0，，M（1，三点在二次函数上，则 ， 解得 ∴该抛物线的解析式为； （2）存在．设H（m，0）， 过点M作MD平行于y轴交AB于点D，交x轴于点H， ∵A（3，0），B（0，，M（1，， ∴OA＝3，，，AH＝2， ∴，， ∴∠BAO＝30°，∠MAH＝60°， ∴∠ADH＝90°﹣30°＝60°，∠MAD＝∠MAH﹣∠BAO＝60°﹣30°＝30°， ∴，∠AMD＝30°＝∠MAD， 当点E与点B重合，即E（0，时，如图1， 若∠AFE＝∠FAE＝∠MAD＝∠AMD＝30°，则△AEF∽△ADM，此时点F与点A关于y轴对称，F（﹣3，0）； 若∠AEF＝∠FAE＝∠MAD＝∠AMD＝30°，则△AEF∽△AMD，则AF＝EF，即EF＝3﹣m，OF＝m，， ∵OF2+OE2＝EF2， ∴，解得：m＝1， ∴F（1，0）； 当点E在x轴下方对称轴左侧抛物线上时，如图2，设E（n，， ∵∠FAE＝30°， ∴， 解得：n＝3（舍去）或n＝﹣1， ∴E（﹣1，， 若∠AFE＝∠FAE＝∠MAD＝∠MAD＝30°，则△AEF∽△ADM， ∴点F与点A关于x＝﹣1轴对称，F（﹣5，0）； ∴∠AEF＝∠FAE＝∠MAD＝∠MAD＝30°，则△AEF∽△AMD， ∴AF＝EF，即EF＝3﹣m，CF＝m+1，， ∵CF2+CE2＝EF2， ∴，解得：， ∴，0）； 当点E与点M重合，即E（1，时，如图3， 点H在点A的，即∠MAF＝180°﹣∠MAO＝180°﹣60°＝120°＝∠ADM， 若∠AHM＝∠MAD＝30°，则△AEH∽△AMD， ∴∠AEH＝∠AHE＝30°， ∴AH＝AE＝4， ∴m＝OF＝3+4＝7， ∴H（7，0）， 过A作直线AB的垂线，交抛物线于G， 易得G（﹣2，﹣5），此时AG＝10，得H点（13，0）． 综上所述，点H的坐标为（﹣3，0）或（1，0）或（﹣5，0）或（，0）或（7，0）或（13，0）． 3．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，BO：OA＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线过点A、B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标． 解：（1）在Rt△AOB中，OA＝1，BO：OA＝3 ∴OB＝3OA＝3， ∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的， ∴△DOC≌△AOB， ∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1． ∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入 ， 解得， 抛物