2024年西班牙数学奥林匹克试题

2024 年西班牙数学奥林匹克 第一天 1. 2024 个不同的素数 p1, p2, · · · , p2024 满足条件： p1 + p2 + · · ·+ p1012 = p1013 + p1014 + · · ·+ p2024. 设 A = p1p2 · · · p1012，B = p1013p1014 · · · p2024． 求证：|A−B| ≥ 4． 2. 给定正整数 n，实数 x1, x2, · · · , xn > 1 满足 x1x2 · · ·xn = n+ 1．求证：( 1 12(x1 − 1) + 1 )( 1 22(x2 − 1) + 1 ) · · · ( 1 n2(xn − 1) + 1 ) ≥ n+ 1, 并说明等号何时成立． 3. 设 △ABC 为不等边三角形，P 为三角形内部一点，满足 ∠PBA = ∠PCA．直线 PB 和 ∠BAC 的内角平分线交于点 Q，直线 PC 和 ∠BAC 的外角平分线交于点 R．点 S 满足 CS ∥ AQ，BS ∥ AR． 求证：Q,R, S 三点共线． 第二天 4. 实数 a, b, c, d 满足 abcd = 1, a+ 1 a + b+ 1 b + c+ 1 c + d+ 1 d = 0. 求证：ab, ac, ad 中至少一个等于 −1． 5. 给定平面上的两点 p1 = (x1, y1), p2 = (x2, y2)，用 R(p1, p2) 表示边与坐标轴平行、且以 p1 和 p2 为对角顶点的矩形，即 {(x, y) ∈ R2 | min{x1, x2} ≤ x ≤ max{x1, x2}, min{y1, y2} ≤ y ≤ max{y1, y2}}. 若对所有的点集 S ⊂ R2，且 |S| = 2024，都存在两点 p1, p2 ∈ S，使得 |S ∩R(p1, p2)| ≥ k，求 k 的 最大可能值． 6. 设 a, b, n 为正整数，满足 bn 整除 an− a+1，记 α = a b ．求证：⌊α⌋, ⌊2α⌋, . . . , ⌊(n− 1)α⌋ 除以 n 的余数是 1, 2, · · · , n− 1 的一个排列． 2024 年西班牙数学奥林匹克试题解析