2023年北京大学中学生数学科学夏令营试题

2023年北大夏令营试题解答与评析 2023年8月5日和6日进行了两场考试，每天上午各一场，每场4小时4题， 试题第1,5,7题较简单，第3,4,6题难度中等，第2,8题较困难.试题整体思想 性较强，需要将问题想到位，想清楚.笔者水平有限，解答如有不当之处，敬请指 正 I.试题 1.设奇数n>3,求证：是arccos是无理数， 2.对正整数n,用S(n)表示0~n-1在十进制中的数码和之和.求证：对 任意正整数m,n, S(m+n)>S(m)+S(n)+minm,nf. 3.在△ABC中，BC是最长边.设AC的中垂线与直线BC、AB分别交于 点D、E,B关于此中垂线的对称点为F,设AB的中垂线与直线BC、AC分 别交于点J、K,C关于此中垂线的对称点为L.设BL、CF交于点N,△BJL 的外接圆与直线JN交于另一点R,△CDF的外接圆与直线DN交于另一点Q 过N作BC的平行线交直线EK于P,设M是FL、BC的交点，I是△ABC 外接圆平行于BC的直径，求证：直线QR,MP,1交于一点 4.将一个2023×2023方格表的每个格黑白染色.满足每个2×2小正方形 中均至少有一个黑格，且每个黑格均在一个2×2小黑色正方形中.记：为每行 2023 中黑格的个数，为每列中黑格的个数，求工(@-)的最大值. 修订日期：2023-10-07. 1 5.给定正整数n>m.求所有的数组(i1,2,…im)(1≤i1<i2<…<im≤ n,使得对任意满足∑=0的实数组(1,2，…xn)(1<2<…<xn),都 有公>0. k=1 6.是否存在质数p和非零整系数多项式∫，使得对任意正整数α，{1,2，·，p} 中至少有p-202个正整数n使得p|f(n)? 7.魔术师和小美在2N×2N的方格表中放入1×2或2×1的骨牌.魔术 师先放入一些两两无公共格的骨牌，满足对任意1≤M≤2N,方格表中每个 M×M的正方形至多与「号1个已放入的骨牌有公共格.求证：小美可以再放入 骨牌恰覆盖方格表中余下的方格. 8.设简单有向图G的顶点是10×1000(10行1000列)的格点.G的边满足： 除最后一列外，每个顶点恰有三条有向边指向下一列的三个不同顶点；除第一列 外，每个顶点恰有三条有向边被前一列的三个不同顶点指向：G中无其他边.对 最后一列的每个顶点v赋予一个实数。∈[0,1小.对其余每个项点u,若从u出发 指向a,b,c,则递归定义g=++业.求证：∑l9u-gw<150. Ⅱ.解答与评注 题1设奇数n>3,求证：是arccos元是无理数， 证明1用反证法，若arccos方是有理数，设为：，其中r为正整数.则 00sx=a,c0s华=2. 又由 e-9=(+-可)-(-a可] 且n>2,得22为(a+x2-1'-(x-V2-)”=0一根.化简得 c9g-2-y2-2w1=0 模n并结合会Cg-1=2-,可得n2必，与n为大于等于3的奇数矛盾1口 证明2用反证法，若是arccos方是有理数，设为÷，其中r为正整数， (亿，)=1.易得r>1.则c0s=,c0s2-π=2- 记cos=六k≥1(，9)=1，且m∈Z,9ke2.则= 2 归纳易证明q张为奇数，且q+1=哌，Pk+1=2诉-喉，也即说明这样的pk,qk 存在且{q}单调递增 只需注意到q1=n为奇数，(2p呢-9呢，)=1. 由欧拉定理，知有qen=0,与{q}单调递增矛盾. 口 评注本题较为简单，做法也较多，法一引入切比雪夫多项式，是考场上大多 数同学的证法.法二较为巧妙.由法一可以看出2c0sπ是代数整数，故若其为 有理数则必定为整数，则n为奇数的条件可加强为n卡1,2,4. 题2对正整数m,用S(n)表示0~n一1在十进制中的数码和之和.求证： 对任意正整数m,n, S(m+n)>S(m)+S(n)+minim,n. 证明记s()为k在十进制中数码和.不妨设m≥n,只需证明 +n- ∑≥∑s+1. 对n归纳.n=1时成立. 若命题对小于n的数均成立，设10≤n<10+1 ①m+n-1<10+1.设m=1,10+r,0≤r<10.对m≤k≤ m+n-1,s()≥s(k-1.10)+1.有 n+101-1 s()≥ (s()+1). k=m k=m-101 又归纳假设有 m十元 m-101-1 ∑s)≥∑ (s(k)+1), k=n+10'l =0 两式相加即证 ②m<10,m+m-1≥10，有三内≥"宫 m+n-1-10+1 (s()+1),只 k=10+1 需证 10+1-1 ≥ (s(k)+1) k-m k=m+n-10+ 又x<10+1时，s(z)+s(10+1-1-x)=9(t+1).只需证 102+1-1 ∑(9t+1)-s10+1-1-)≥ 另 (9t+1)-s(10+1-1-)+1