2024年九年级中考数学复习讲义 二次函数之角度问题——二倍角问题

二次函数之角度问题——二倍角问题 一．例题 1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知抛物线的对称轴所在的直线是x，点B的坐标为（4，0）． （1）抛物线的解析式是　 　； （2）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当∠ABP＝2∠ABC时，求出点P的坐标； 解：（1）∵点A与点B（4，0）关于直线是x， ∴点A（，0）， ∴抛物线解析式为y＝（x）（x﹣4）， 即y＝x2x+2； 故答案为y＝x2x+2； （2）如图，∠ABP＝2∠ABC， 直线BP交y轴于E，作C点关于x轴的对称轴点D，DH⊥BE于H， 则∠ABC＝∠ABD， ∴∠ABD＝∠PBD， ∴DO＝DH， 当x＝0时，y＝x2x+2＝2，则C（0，2）， ∴OD＝DH＝2， 设DE＝t， ∵∠DEH＝∠BEO， ∴△EDH∽△EBO， ∴，即，则EH＝1t， 在Rt△DEH中，22+（1t）2＝t2，解得t1＝﹣2，t2， ∴OE＝OD+DE＝2， ∴E（0，）， 设直线BE的解析式为y＝mx+n， 把B（4，0），E（0，）代入得， ∴直线BE的解析式为yx， 解方程组得或， ∴P点坐标为（，）； 2．直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若P是直线AB上方抛物线上一点； ①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标； ②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）直线yx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2）， 将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2x+2； （2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2m+2），点N（m，m+2）， 则：△PBA的面积SPN×OA4×（﹣m2m+2m﹣2）＝﹣2m2+8m， 当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）； ②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，a+2）； （Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1， 则（a）2+（a+3）2＝（a﹣4）2+（a+2）2， 解得：a， 故点M1（，）； （Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1， 则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2， 作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N， 则tan∠BAO，则tan∠QNA＝2， 故直线QH表达式中的k为2， 设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2， 故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合， M2、M1关于B对称， ∴M2（，）； 综上，点M的坐标为：（，）或（，）． 3．如图，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C，与x轴交于另一点B（1，0），顶点为D． （1）求抛物线对应函数表达式及顶点D的坐标； （2）点M是直线AC上方抛物线上的一动点，MH⊥AC于H，是否存在点M使△MHC中某个角等于∠OCB的两倍．若存在直接写出M的横坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）∵直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点C， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3）． 将A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）作∠CBF＝∠OCB，BF交y轴于点F，过点M作MN⊥x轴，交AC于N， ∴CF＝BF，MN∥OC， ∴∠OCB＝∠CBF， ∴∠OFB＝∠OCB+∠CBF＝2∠OCB， 在Rt△OBF中，BF2＝OB2+OF2， ∴BF2＝12+（3﹣BF）2， ∴CF＝BF， ∴OF＝3， ∵MN∥OC， ∴∠MNH＝∠OCA＝45°， ∵MH⊥AC， ∴MHMN， 设M（m，﹣m2﹣2m+3），则N（m，m+3）， ∴MN＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m， ∴MH（﹣m2﹣3m）， CM， ①当∠HMC等于∠OCB的两倍时． ∵∠OFB＝2∠OCB， ∴∠OFB＝∠HMC， ∵∠MHC＝∠FOB＝90°， ∴△MHC∽△FOB， ∴， ∴， ∴m或5（舍去）， ∴M的横坐标为； ②当∠MCH于∠OCB的两倍时， 同理得∴△MHC∽△BOF， ∴， ∴， ∴m或﹣9（舍去）， ∴M的横坐标为； 综上所述，M的横坐标为或． 4．图①，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣1，0），并且与直线yx﹣