2024年九年级中考数学复习讲义 二次函数之角度问题——等角问题

二次函数之角度问题——等角问题 一．例题 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（1，0），C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）如图，当∠PCB＝∠BCA时，求直线CP的解析式． 解：（1）由题意，得，解得 ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3； （2）∵B（3，0），C（0，﹣3） ∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45° 设直线CP的解析式为y＝kx﹣3 如图，延长CP交x轴于点Q， 设∠OCA＝α，则∠ACB＝45°﹣α， ∵∠PCB＝∠BCA，∴∠PCB＝45°﹣α， ∴∠OQC＝∠OBC﹣∠PCB＝45°﹣（45°﹣α）＝α， ∴∠OCA＝∠OQC 又∵∠AOC＝∠COQ＝90° ∴Rt△AOC∽Rt△COQ ∴，∴， ∴OQ＝9，∴Q（9，0） ∵直线CP过点Q（9，0），∴9k﹣3＝0 ∴ ∴直线CP的解析式为． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）找出图中与∠DAB相等的一个角，并证明； 解：（1）把点B（1，0），点C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）图中与∠DAB相等的一个角是∠ACB， 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴A点坐标为（﹣3，0）， ∴OA＝OC＝3， ∴∠CAO＝∠OCA＝45°， 在Rt△BOC中，tan∠OCB， ∵A点坐标为（﹣3，0），B点坐标（1，0），C点坐标为（0，3）， ∴AC＝3，DC，AD＝2， ∴AD2+DC2＝20，AD2＝20， ∴AD2+DC2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°， ∴tan∠DAC， ∴∠DAC＝∠OCB， ∴∠DAC+∠CAO＝∠BCO+∠OCA， 即∠DAB＝∠ACB； 3．已知抛物线y＝x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣2，0） （1）求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． （2）若点M是线段AC上一个动点（不与A、C重合），点N是线段AB上一个动点，设AN＝t（t＞0） ①如图1，当点N运动到AB的中点时，作MN∥y轴交AC于点M．求证：∠BMN＝∠BAC． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得∠GNB＝∠BAC且GN恰好平分∠AGB？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． （1）解：把A（﹣2，0）代入y＝x2+mx﹣2得：0＝4﹣2m﹣2， 解得：m＝1， ∴该抛物线的解析式为：y＝x2+x﹣2， 把x＝0代入得：y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）； 把y＝0代入得：0＝x2+x﹣2， 解得：x1＝﹣2，x2＝1， ∴B（1，0）； （2）①证明：如图： 设直线AC的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）， 把A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入得：， 解得：， ∴直线AC的函数解析式为：y＝﹣x﹣2， ∵A（﹣2，0），B（1，0），点N运动到AB的中点， ∴， 把代入y＝﹣x﹣2得：， ∴，则， ∵A（﹣2，0），C（0，﹣2）， ∴AO＝CO＝2，则∠BAC＝45° ∵B（1，0），，， ∴， ∵MN∥y轴， ∴∠MNB＝90°， ∴∠BMN＝45°， ∴∠BMN＝∠BAC； ②解：过点G作GH⊥x轴于点H， 由①可得：∠BAC＝45°， ∴∠GNB＝∠BAC＝45°， ∴∠NGH＝45°，则GH＝NH， 设点G（a，a2+a﹣2）， ∵A（﹣2，0）， ∴AH＝a+2，GH＝a2+a﹣2，则NH＝AH﹣AN＝a+2﹣t， ∴a+2﹣t＝a2+a﹣2，整理得：t＝4﹣a2， ∵B（1，0）， ∴BH＝a﹣1， ∵∠GNB＝∠GAN+AGN，∠NGH＝∠NGB+BGH， ∴∠GAN+AGN＝∠NGB+BGH， ∵GN平分∠AGB， ∴∠AGN＝∠NGB， ∴∠GAN＝∠BGH， 又∵∠GHB＝∠AHG＝90°， ∴△AGH∽△GBH， ∴，即， 整理得：（a2+a﹣2）2＝a2+a﹣2， 令a2+a﹣2＝A，则A2＝A， 解得：A1＝0，A2＝1， 当A＝0时，不符合题意，舍去； 当A＝1时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 4．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，过x轴上点E（﹣2，0）作ED⊥AB交抛物线于点D ①在y轴上找一点F，使△EDF的周长最小，