2024年九年级中考数学复习讲义 二次函数之等腰三角形存在问题

二次函数之等腰三角形存在问题 一．例题 1．抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与直线y＝kx+c（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛物线与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）求出C、D两点的坐标 （3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标． 解：（1）把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入 y＝ax2+bx﹣3可得 解得 ∴y＝x2﹣2x﹣3 （2）把x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3中可得y＝﹣3∴C（0，﹣3） 设y＝kx+b，把A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入 解得 ∴y＝﹣x﹣1 ∴D（0，﹣1） （3）由C（0，﹣3），D（0，﹣1）可知CD的垂直平分线经过（0，﹣2） ∴P点纵坐标为﹣2， ∴x2﹣2x﹣3＝﹣2 解得：x＝1±，∵x＞0∴x＝1． ∴P（1，﹣2） 2．如图，抛物线y＝ax2x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，连接AC，已知B（﹣1，0），且抛物线经过点D（2，﹣2）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是y轴上一点，以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标． 解：（1）把B（﹣1，0），D（2，﹣2）代入y＝ax2x+c得， 解得：． 故抛物线的解析式为yx2x﹣2； （2）在y＝ax2+bx﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∴OC＝2， 如图2，设P（0，m），则PC＝m+2，OA＝3，AC， ①当PA＝CA时，则OP1＝OC＝2， ∴P1（0，2）； ②当PC＝CA时，即m+2， ∴m2， ∴P2（0，2）； ③当PC＝PA时，点P在AC的垂直平分线上， 则△AOC∽△P3EC， ∴， ∴P3C， ∴m， ∴P3（0，）， ④当PC＝CA时，m＝﹣2， ∴P4（0，﹣2）． 综上所述，P点的坐标（0，2）或（0，2）或（0，）或（0，﹣2）． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点M，且点M的横坐标为1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C． （1）求线段AB的长度； （2）如图1，连接BM，点P为直线BM上方抛物线上（不与B、M重合）的一动点，过点P作PE∥x轴，交直线BM点E，求PE的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得到新抛物线y′，新抛物线y′与y轴交于点N，新抛物线y′与原抛物线交于点H，G为原抛物线对称轴l上一点，当以G、N、H为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点G的坐标并写出求解过程． 解：（1）令y＝0，即， 解得：x1＝﹣4，x2＝2， ∴A（2，0），B（﹣4，0）， ∴AB＝6； （2）∵点M的横坐标为1，代入中， 得：，设BM的解析式为y＝kx+b， 将B（﹣4，0），代入，得：， 解得：，即， 设， ∵PE∥x轴，交直线BM点E， 在中，令，得：， 解得：x＝﹣t2﹣2t+4， ∴， ∴， ∵﹣1＜0，开口向下，﹣4＜t＜1， ∴当时，PE有最大值， 此时点； （3）平移后的抛物线， 联立，解得， ∴H（4，﹣6）， ∵原抛物线对称轴为直线， ∴设G（﹣1，m）， ∵新抛物线y′与y轴交于点N（0，﹣3）， ∴NH2＝42+32＝25，NG2＝1+（m+3）2，HG2＝25+（m+6）2， ①当NH＝NG时，25＝1+（m+3）2，解得； ②当NH＝HG时，25＝25+（m+6）2，解得m＝﹣6； ③当NG＝HG时，1+（m+3）2＝25+（m+6）2，解得； 综上：点G为，，（﹣1，﹣6），． 4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象交x轴于点A（1，0）、B（4，0），交y轴于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）直线x＝m（不经过点B，C）分别交直线BC和抛物线于点M、N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值． 解：（1）将点A（1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣5x+4；， （2）解：依题意M（m，﹣m+4），N（m，m2﹣5m+4）， ∵B（4，0）， ∴BM2＝2（4﹣m）2，BN2＝（4﹣m）2+（m2﹣5m+4）2，MN2＝（﹣m2+4m）2， 当BM＝BN时，2（4﹣m）2＝（4﹣m）2+（m2﹣5m+4）2， 解得m＝0（舍）或m＝2； 当MB＝MN时，2（4﹣m）2＝（﹣m2+4m）2， 解得； 当BN＝MN时，（4﹣m）2+（m2﹣5m+4）2＝（﹣m2+4m）2， 解得m＝1； 综上所述：m的值为2或1或或． 5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3），P是第