2024年九年级中考数学二轮复习——二次函数与正方形性存在性问题 讲义

2024年中考数学二轮复习——二次函数与正方形存在性问题 一．例题 1．如图1，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A（﹣2，0）、C（0，﹣6），并交x轴于另一点B，点E是线段BC上的动点，过A、E两点的直线与抛物线在第四象限相交于点D． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，以EH为对角线作正方形EGHI，当顶点G恰好落在抛物线上时，请直接写出点G的坐标． 解：（1）∵抛物线经过 A（﹣2，0），C（0，﹣6）， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣6； （2）设点E（m，2m﹣6）， 则EH＝6﹣2m，则EH＝3﹣m， 则xG＝m﹣（3﹣m）＝2m﹣3，yG＝m﹣3， 即点G（2m﹣3，m﹣3）， 将点G的坐标代入抛物线表达式得：m﹣3＝（2m﹣3）2﹣（2m﹣3）﹣6， 解得：m＝3（舍去）或， 则点G（，）． 2．若二次函数的图象经过点A（﹣2，0），其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． （1）点C的坐标为 　 　； （2）求二次函数的解析式； （3）点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N． 以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在对称轴上时，直接写出点M的坐标． 解：（1）∵点C与点A（﹣2，0）关于直线x＝1对称， ∴C（4，0）， 故答案为：（4，0）； （2）把A（﹣2，0）、C（4，0）代入yx2+bx+c，得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为yx2﹣x﹣4； （3）∵以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），如图，连接PQ， 则PQ⊥MN，PQ＝MN， ∴P（2m+2，﹣m﹣2）， ∵点P在对称轴上， ∴2m+2＝1， 解得：m， ∴M（，﹣3）． 3．如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C（0，4），点E在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标． 解：（1）∵抛物线yx2+bx+c经过点B（4，0）和C（0，4）， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为yx2+x+4； （2）令y＝0，则x2+x+4＝0， 解得x＝﹣2或x＝4． ∴A（﹣2，0）． 设直线AC的解析式为y＝px+q，将A（﹣2，0），C（0，4）代入， 解得p＝2，q＝4， ∴直线AC的解析式为y＝2x+4， ∵四边形OENM是正方形， ∴OE＝OM，∠EOM＝90°，分别过点M、E作y轴的垂线，垂足分别为P、Q，如图， ∠OPM＝∠EQO＝90°，∠OMP＝90°﹣∠MOP＝∠EOQ． ∴△OMP≌Δ EOQ（AAS）． ∴PM＝OQ，PO＝EQ． 设E（m，m2+m+4）， ：∴PO＝EQ＝﹣m，PM＝OQm2﹣m﹣4．则M（m2﹣m﹣4，m）， ∵点M在直线AC上， ∴m＝2（m﹣4）+4． 解得m＝4或m＝﹣1， 当m＝4时，M（0，4），E（4，0）， 即点M与点C重合，点E与点B重合时，四边形OENM是正方形，此时N（4，4）： 当m＝﹣1时，M（，﹣1），E（﹣1，）， 点O向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点M， 则点E向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到点N， N（﹣1，1），即N（，）． 当点E在y轴右侧，作EG⊥x轴，MH⊥x轴，如图： 设M（m，2m+4），则点E（﹣2m﹣4，m），则点N（﹣m﹣4，3m+4）， ∴（﹣2m﹣4）2﹣2m﹣4+4＝m， 解得m， ∴点N的坐标为（，）或（，）， 综上，点N的坐标为（4，4）或（，）或（，）或（，）． 4．综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝2OC，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB． （1）求抛物线解析式； （2）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （3）在（2）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 解：（1）把（4，0）代入y＝x+b，得， 4+b＝0，解得：b＝4， ∴y＝x﹣4， 当x＝0时，y＝0﹣4＝﹣4， ∴B（0，﹣4）， ∴A（4，0）， ∴OA＝4， ∵OA＝2OC， ∴OC＝2， ∴C（﹣2，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）， 把B（0，﹣4）代入得：﹣4＝a（0+2）（0﹣4）， 解得：a， ∴抛物线解析式为y（x+2）（x﹣4）x﹣4； （2）如图，过点F作FE∥y轴，交AB于点E， 设点F的横坐标为t，则F（t，）， ∵直线AB的