2024年九年级中考数学二轮复习——二次函数与矩形存在性问题 讲义

2024年中考数学二轮复习——二次函数与矩形存在性问题 一．例题 1．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线y'，y'与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）， 即y＝ax2+2ax﹣3a， ∴﹣3a＝3，解得a＝﹣1， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由平移可求得平移后函数解析式为y＝﹣（x+3+2）（x﹣1+2）＝﹣x2﹣6x﹣5，与原函数交点M（﹣2，3）； ①以AM为边，作MN1⊥AM交对称轴于N1，可构造矩形AMN1H1，设N1（﹣1，y1）， ∴AM2＝10，MN12＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2，AN12＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2， ∵AM2+MN12＝AN12， ∴10+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y1﹣3）2＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y1﹣0）2， 解得y1，即N1（﹣1，）， 此时设H1（p1，q1），由A、M、N1、H1四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴H1（﹣2，）； ②同理，以AM为边，作MN2⊥AM交对称轴于N2，可构造矩形AMH2N2，设N2（﹣1，y2）， ∵AM2+AN22＝MN22， ∴10+[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y2﹣0）2＝[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y2﹣3）2， 解得y2，即N2（﹣1，）， 此时设H2（p2，q2），由A、M、N2、H2四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴H2（0，）； ③以AM为对角线，作MN3⊥AN3交对称轴于N3，可构造矩形AN3MH3，设N3（﹣1，y3）， ∵AM2＝AN32+MN32， ∴10＝[（﹣1）﹣（﹣3）]2+（y3﹣0）2+[（﹣1）﹣（﹣2）]2+（y3﹣3）2， 解得y3＝1，y4＝2，即N3（﹣1，1），N4（﹣1，2）， 此时设H3（p3，q3），由A、M、N3、H3四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴H3（﹣4，2）； 设H4（p4，q4），由A、M、N4、H4四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴H4（﹣4，1）． 综上所述，点H的坐标为（﹣2，）或（0，）或（﹣4，2）或（﹣4，1）． 2．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴C点的坐标为（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B、C点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4）． ∴M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）， ∴PM＝﹣a2+3a，QN＝﹣a2+a+2， ∴PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4， 当a＝1时，（PM+QN）max＝4， ∴Q（2，﹣3）； （3）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5， ∴y′的对称轴为x＝2 ∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C． ∴C（0，﹣3）， ∵B（3，0）， ∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°； 如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴， ∵D在y′的对称轴为x＝2， ∴FD＝2， ∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5）， ∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到E（5，﹣3）； 如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于F