湖南省株洲市第二中学2024年第四届“同济大学”杯数理化联赛高一数学试题

株洲市二中2024年第四届“同济大学”杯数理化联赛 高一数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题 1. 设集合，那么集合满足条件“”的元素个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 2. 利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．下表为部分锐角的正弦值，则的值约为（ ） 0.1736 0.3420 0.5000 0.6427 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 A. B. C. 0.14 D. 0.18 3. 如图，在中，，为上一点，且，若，则值为（ ） A. B. C. D. 4. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角，，的对边分别为a，b，c，且，若，则角不可能（ ） A. 为直角 B. 为锐角 C. 为钝角 D. 在之间 6. 已知函数的定义域为，且，，，则（ ） A B. C. 0 D. 1 7. 已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 以上答案都不对 8. 已知函数若,且,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ） A. 复数纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限 C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）. A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 恒成立 11. 已知函数，则（ ） A. 若函数有3个零点，则 B. 函数有3个零点 C. ，使得函数有6个零点 D. ，函数的零点个数都不为4 三、填空题 12 __________． 13. 若、、、均为正实数，则的最小值为______. 14. 已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图），若在上，且，则的最大值为______． 四、解答题 15. 已知向量，，函数． （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，求函数的单增区间，及函数在的值域． 16. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点． （1）若，求的值； （2）若，，求的最小值． 17. 如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． （1）若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； （2）通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； （3）由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 18. 已知函数，其中． （1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； （2）当时，比较与的大小； （3）若函数有三个零点，求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质. （1）判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由； （2）若函数在区间上具有性质，求n的取值范围； （3）已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质. 株洲市二中2024年第四届“同济大学”杯数理化联赛 高一数学试题 考试时间：120分钟 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】15. 16. 单调递增区间为,在的值域为. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2），不会随的变