1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识高中数学2023-2024学年度高一下北师大版必修第二册

5.2余弦函数的图像和性质 知识点 利用图象变换作余弦函数的图象 根据诱导公式，由，可知余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左平移个单位长度而得到．如图所示．类似地，我们把余弦函数的图象叫做余弦曲线（cosine curve）． 用五点法作余弦函数的图象 与正弦函数的图象一样，在函数的图象上，起关键作用的点有以下五个： ,如下表： x 0 y=cos x 1 0 0 1 同样，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法也称为五点法作图． 【例题1.】 （23-24高一上·江苏·课时练习）余弦函数的图象 （1）为了得到余弦函数的图象，我们可以将的图象向左平移 单位. （2）类似于用“五点法”画正弦函数的图象，我们也可以找出余弦函数相应的五个关键点，它们分别是 ， ， ， ， . 【答案】 【例题2.】 （2023高一上·江苏·专题练习）利用“五点法”作出函数的简图． 【答案】答案见解析 【分析】先取，然后计算出对应的值，从而的值可求，然后在平面直角坐标系中描点连线. 【详解】（1）取值列表如下： 0 1 0 －1 0 1 －2 －1 0 －1 －2 （2）描点连线，如图所示：    【例题3.】 （2023高三·全国·专题练习）作出函数的图象 【答案】见解析 【分析】去绝对值后，结合函数的图象，即可画出函数的图象. 【详解】，， 作出函数图象后，将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，即为函数的图象，如图    【例题4.】 （23-24高三下·四川遂宁·开学考试）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A. 【详解】，则的定义域为R， 又， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD， 当时，，故排除A. 故选：B. 【例题5.】 （22-23高一上·甘肃定西·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由题知，即，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 余弦函数的图像与性质 （1）余弦函数的图象与性质： 性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当时，． 周期性 奇偶性 偶函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心 对称轴，既是中心对称又是轴对称图形。 余弦函数与余弦型函数的性质 （1）周期性 余弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是；对于正弦型函数的最小正周期为。 【例题6.】 （多选）（23-24高一上·福建·期末）已知函数的最小正周期为，则（    ） A． B．是图象的一条对称轴 C．在区间上单调递增 D．在区间上的最小值为 【答案】AB 【分析】利用函数的最小正周期为求出可判断A；代入法可判断B，利用余弦函数的单调性可判断C；根据的范围求出的值域可判断D. 【详解】对于A：因为函数的最小正周期为， 所以，可得，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，因为在单调递减，故C错误； 对于D，当时，，所以， 可得，故D错误. 故选：AB. 【例题7.】 （多选）（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知函数，则（    ） A．函数为偶函数 B．曲线的对称轴方程为， C．在区间上单调递增 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质，逐项判断得解. 【详解】函数，则是偶函数，A正确； 由，得，即曲线的对称轴方程为，B错误； 当时，，而余弦函数在上递增，则在上单调递增，C正确； 函数的最小值为，D错误. 故选：AC 【例题8.】 （多选）（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（    ） A．的值可能是 B．的最小正周期可能是 C．在区间上单调递减 D．图象的对称轴可能是 【答案】ABC 【分析】 利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B选项. 【详解】因为函数在区间上有且仅有个对称中心， 且当时，， 所以，，解得，A对； 因为，则函数的最小正周期为，且，B对； 当时，， 因为，则， 所以，函数在区间上单调递减，C对； ，所以，图象的对称轴不可能是，D错. 故选：ABC. 【例题9.】 （多选）（20-2