1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识高中数学2023-2024学年度高一下北师大版必修第二册

5.1 正弦函数的图象与性质再认识 知识点一：正弦函数图像的画法 （1）五点法作y=sin x,的简图 在函数y=sin x，的图象上，起关键作用的点有以下五个：,如下表： x 0 y=sin x 0 1 0 0 描出这五个点后,函数y=sin x，的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为五点法作图． （2）将函数y=sin x，的图象向左、向右平行移动（每次个单位长度），就可以得到正弦函数y=sin x，x∈R的图象，如图．正弦函数y=sin x，x∈R的图象叫做正弦曲线． 【题型一：求解定义域问题】 【例题1.】 （23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知的定义域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为的定义域是， 对于函数，有，可得， 解得， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 【即时训练1.】 （2022高三上·河南·专题练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型二：五点画图法】 【例题2.】 （2024高一下·上海·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】 根据五点画图法的原则：描点、连线、绘图，找到函数中对应的五个点，操作画图即可. 【详解】（1） 解：由，列表： 描点、连线、绘图，可得函数的图象，如图所示.    （2） 解：由，可得，列表如下： 1 －1 描点、连线，可得函数的图象，如图所述，    （3） 解：列表: 0 0 1 0 -1 0 描点、连线，可得函数的图象，如图所示：      【即时训练1.】 （23-24高一上·安徽·期末）已知函数周期为，其中． (1)求函数的单调递增区间； (2)请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数在上的简图． 【即时训练2.】 （23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知函数． (1)用五点作图法画出函数在一个周期上的简图； (2)若，求． 【题型三：绝对值函数图像问题】 【例题3.】 （23-24高一上·福建南平·期末）若函数在恰好有3个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数在恰好有3个零点转化为函数在上恰有条对称轴，利用正弦曲线列不等式求解即可. 【详解】令得， 因为函数在恰好有3个零点， 所以函数在上恰有条对称轴， 当时，， 函数在上恰有条对称轴，如图：   ， 则，解得. 故选：C. 知识点二：正弦函数的图像与性质 （1）正弦函数的图象与性质： 正弦函数 y=sin x 图象 定义域 R 值域 最值 当时，；当时，． 周期性 T=2K 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心 对称轴; 既是中心对称又是轴对称图形。 知识点三：正弦函数与正弦型函数的性质 （1） 周期性：对于y=sin x正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是；对于正弦型函数的最小正周期为。 【题型三：周期性的应用】 【例题4.】 （北师大版（2019）必修第二册课本习题第一章5.1正弦函数的图象与性质再认识）求下列函数的最小正周期． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用三角函数最小正周期的公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以函数的最小正周期为； （2）因为，所以函数的最小正周期为； （3）因为，所以函数的最小正周期为. 【即时训练3.】 （广西横州市横州中学2020-2021学年高二下学期4月段考数学试题）函数的最小正周期是（　 　） A． B．2 C．3 D． （2） 奇偶性 观察正弦曲线可以看到正弦曲线关于原点对称，所以正弦函数y=sin x，x∈R为奇函数；对于正弦型函数，如果不能通过诱导公式变为则就是非奇非偶函数。 【题型四：奇偶性的应用】 【例题5.】 （2022·全国·模拟预测）函数在的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】判断出函数的奇偶性排除两个选项，再由特殊值判断即可. 【详解】∵， ∴为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除C、D选项； 又，故排除A选项