2024年九年级中考数学二轮复习——二次函数之菱形存在性问题 讲义

2024年中考数学二轮复习——二次函数与菱形存在性问题 一．例题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3过点（﹣1，4），且与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度得到新的抛物线y′，平移后的抛物线y′与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，在平面内确定一点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 解：（1）将点（﹣1，4），（1，0）代入y＝ax2+bx+3， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）设抛物线向x轴负方形平移1个单位，则向y轴负方向平移1个单位， ∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2+3， 当﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+2）2+3时，x＝﹣2， ∴D（﹣2，3）， 设M（n，n+3），N（x，y）， 当BD为平行四边形的对角线时，BM＝MD， ， 解得， ∴N（，）； 当BM为平行四边形的对角线时，BD＝DM， ∴， 解得或， ∴N（0，1）或（﹣4，﹣3）； 当BN为平行四边形的对角线时，BD＝BM， ∴， 解得或， ∴N（﹣2，3）或（﹣2，3）； 综上所述：N点坐标为（，）或N（0，1）或（﹣4，﹣3）或（﹣2，3）或（﹣2，3）． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方． （1）求这个二次函数的解析式； （2）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． 答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3． （2）存在． 如图，设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于点E， 若四边形POP′C是菱形，则OP＝PC， 连接PP′，则PE⊥OC，OE＝CE， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴P（）． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点，与y轴交于点C（0，4）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上位于直线AC上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线AC于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求PE+PF的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中PE+PF取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H，点M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点， 设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+2）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4）． 则﹣8a＝4， 解得：a， 故抛物线的表达式为：y（x﹣4）（x+2）x2+x+4； （2）∵A（4，0），C（0，4）， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4， ∵yx2+x+4； ∴抛物线的对称轴为直线x1， 设P（p，p2+p+4）（0＜p＜4），则F（1，p2+p+4），E（p，﹣p+4）， ∴PEp2+p+4﹣（﹣p+4）p2+2p，PF＝p﹣1， ∴PE+PFp2+2p+p﹣1p2+3p﹣1（p﹣3）2， ∵0， ∴当p＝3时，PE+PF有最大值，PE+PF的最大值为，此时P（3，）； （3）抛物线yx2+x+4沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H， ∵抛物线yx2+x+4与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0）两点， ∴平移后的抛物线与x轴交于（10，0）、（4，0）两点， ∴点H（4，0）， ∵点M为平移前抛物线对称轴上一点，前抛物线对称轴为直线x＝1， ∴设M（1，m）， ∵P（3，）， ∴PH2＝（4﹣3）2+（）2， PM2＝（3﹣1）2+（m）2＝m2﹣5m， MH2＝（4﹣1）2+m2＝9+m2， ①当MH为对角线时，PH＝PM， ∴m2﹣5m， 解得m或， ∴M（1，）或M（1，）， ∵H（4，0），P（3，）， ∴点N的坐标为（2，）或（2，）； ②当MP为对角线时，PH＝MH， ∴9+m2， ∴m2