二次函数之等腰直角三角形存在问题-2024年中考数学二轮复习

二次函数之等腰直角三角形存在问题 一．例题 1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标． 解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）． ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）如图，∵PQ⊥x轴于Q， ∴∠PQA＝90°， ∵△APQ是等腰直角三角形， ∴AQ＝PQ， ∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣2上， ∴设点Q的坐标为（m，0）则点P（m，m2﹣m﹣2）， ∴AQ＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|，PQ＝|m2﹣m﹣2|， ∴|m+1|＝|m2﹣m﹣2|， ∴m+1＝m2﹣m﹣2或m+1＝﹣（m2﹣m﹣2）， 即m2﹣2m﹣3＝0或m2＝1， 当m2﹣2m﹣3＝0时， 解得，m＝3或m＝﹣1（舍去）， 此时P（3，4）， 当m2＝1时， 解得，m＝1或m＝﹣1（舍去）， 此时P（1，﹣2）， 综上，点P的坐标为（3，4）或（1，2）． 2．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0）， ∴，解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）存在，理由： 设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n）， ∵A（3，0）， ∴OA＝3，OF＝|n|， 如图2，过点P作PD⊥x轴于点D， 则∠ADP＝90°＝∠AOF， ∴∠PAD+∠APD＝90°， ∵∠PAD+∠FAO＝90°， ∴∠APD＝∠FAO， 在△APD和△FAO中， ， ∴△APD≌△FAO（AAS）， ∴PD＝OA，AD＝OF， ∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m， ∴﹣m2+2m+3＝3， 解得：m＝0或2， 当m＝0时，P（0，3），AD＝3， ∴OF＝3，即|n|＝3， ∵点F在y的负半轴上， ∴n＝﹣3， ∴F（0，﹣3）； 当m＝2时，P（2，3），AD＝1， ∴OF＝1，即|n|＝1， ∵点F在y的负半轴上， ∴n＝﹣1， ∴F（0，﹣1）． 3．如图，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于B，C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）P在抛物线上，Q在直线BC上，以P，Q，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，直接写出点Q的坐标． 解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，即B（4，0），C（0，4）， 把B（4，0）和C（0，4）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中， ， 解得， ∴抛物线解析式是 y＝﹣x2+3x+4； （2）当△PQB是等腰直角三角形时，点，（﹣1，5），（﹣2，6），（10，﹣6）．理由如下： 由（1）知OB＝OC＝4， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°． 当△PQB时等腰直角三角形时，需要分以下三种情况： ①当∠OPQ＝90°时，PQ＝BQ， ∴∠QBP＝∠QPB＝45°，则点P为x轴与抛物线的交点，即点P与点A重合；如图3，过点Q作QF⊥x轴于点F， ∴AF＝BF， ∴Q（，）； ②当∠BPQ＝90°时，PQ＝PB， ∴∠PBQ＝∠BQP＝45°，则点P为x轴与抛物线的交点，即点P与点A重合；如图4， ∴Q（﹣1，5）； ③当∠PBQ＝90°时，则PB⊥BC， 当点Q在x轴上方时，过点P作PK⊥x轴于点K，交BC于点Q，如图5， 则点K为PQ的中点， ∴△PBK为等腰直角三角形， ∴PK＝BK， 设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2+3t+4）， ∴4﹣t＝t2﹣3t﹣4， 解得t＝﹣2或t＝4（舍）， ∴P（﹣2，﹣6）， ∴Q（﹣2，6）； 当点Q′在x轴下方时，如图6，过点B作BG⊥PQ′于点G， 则∠BPQ′＝45°， ∴∠BPQ′＝90°， ∴点Q′的纵坐标为﹣6， ∴Q′（10，﹣6）； 综上，当△PQB是等腰直角三角形时，点，（﹣1，5），（﹣2，6），（10，﹣6）． 4．如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）如图②，F是抛物线