2024年中考数学二轮复习——一次函数与等腰直角三角形 讲义

一次函数与等腰直角三角形 一．例题 1．如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴y轴交于点A、B，以线段AB为腰在第一象限内作等腰直角△ABC，则点C的坐标为 　 　． 解：当∠BAC＝90°时， 如图，作CD⊥x轴于D， 把y＝0代入y＝﹣2x+4得﹣2x+4＝0，解得x＝2，所以A点坐标为（2，0）， 把x＝0代入y＝﹣2x+4得y＝4，所以B点坐标为（0，4）， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，∠OAB+∠DAC＝90°， ∴∠OBA＝∠DAC， 在△ABO和△CAD中， ， ∴△ABO≌△CAD（AAS）， ∴AD＝OB＝4，CD＝OA＝2， ∴OD＝OA+AD＝6， ∴C点坐标为（6，2）； 当∠ABC＝90°时， 如图2，作CE⊥y轴于E， 同理证得△ABO≌△BCE， ∴CE＝OB＝4，BE＝OA＝2， ∴OE＝OB+BE＝6， ∴C点坐标为（4，6）； 综上，C的坐标为（6，2）或（4，6）． 故答案为：（6，2）或（4，6）． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C（0，6），射线CE∥x轴，直线y＝﹣x+b交线段OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点．若存在点D，使得△ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为　 　． 解：①当∠ABD＝90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO＝90°， ∴∠DBC＝∠BAO， 由直线y＝﹣x+b交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB＝b，OA＝b， ∵点C（0，6）， ∴OC＝6， ∴BC＝6﹣b， 在△DBC和△BAO中， ， ∴△DBC≌△BAO（AAS）， ∴BC＝OA， 即6﹣b＝b， ∴b＝3； ②当∠ADB＝90°时，如图2， 作AF⊥CE于F， 同理证得△BDC≌△DAF， ∴CD＝AF＝6，BC＝DF， ∵OB＝b，OA＝b， ∴BC＝DF＝b﹣6， ∵BC＝6﹣b， ∴b﹣6＝6﹣b， ∴b＝6； ③当∠DAB＝90°时，如图3， 作DF⊥OA于F， 同理证得△AOB≌△DFA， ∴OA＝DF， ∴b＝6， 综上，b的值为3或6． 故答案为3或6． 3．如图，直线yx+2与x轴交于A，与y轴交于B，点P在经过点B的直线yx+b上，当△PAB是等腰直角三角形时，点P的坐标是 　 　． 解：把y＝0代入yx+2得，x＝4， ∴点A（4，0）， 把x＝0代入yx+2得，y＝2， ∴点B（0，2）， ∵点B在直线yx+b上， ∴b＝2， ∴yx+2， 由题知，∠PBA≠90°， ①当∠BAP'＝90°且AB＝AP'， 过A作AP'⊥AB，垂足为A，过P'作P'H'⊥x轴， ∴∠AOB＝∠P'HA＝90°，∠OAB+∠P'AH＝90°， ∵∠OAB+∠OBA＝90°， ∴∠OBA+∠P'AH＝90°， 又∵AB＝AP'， ∴△AOB≌△P'AH（AAS）， ∴AH'＝OB＝2，P'H'＝OA＝4， ∴OH'＝OA+AH'＝6， ∴P'（6，4）， ∵把x＝6代入yx+2，得y＝4， ∴点P'在直线yx+2上，符合题意． 把P'（6，4）， ②当∠BPA＝90°且BP＝AP， 过A作AP垂直于过B的直线，垂足为P，过P作PH⊥y轴，过P作PQ⊥x轴， ∴∠PHO＝∠PQO＝∠HOQ＝90°， ∴四边形OHPQ为矩形， ∴PH＝OQ，PQ＝OH，∠HPB+∠BPQ＝90° ∵∠APQ+∠BPQ＝90° ∴∠HPB＝∠APQ， 又∵BP＝AP， ∴△HBP≌△QAP（AAS）， ∴HP＝PQ，HB＝QA， ∴四边形OHPQ为正方形， ∵OH+OQ＝（OB+HB）+OQ ＝OB+AQ+OQ ＝OB+（AQ+OQ） ＝OB+OA ＝4+2 ＝6， ∴PH＝PQ＝3， ∴P（3，3） ∵把x＝3代入yx+2，得y＝3， ∴点P在直线yx+2上，符合题意． 综上所得，点P的坐标为（6，4）或（3，3）． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：yx与x轴交于点A，且经过点B（2，m）、点C（3，0）． （1）求直线BC的函数解析式； （2）在线段BC上找一点D，使得△ABO与△ABD的面积相等，求出点D的坐标； （3）y轴上有一动点P，直线BC上有一动点M，若△APM是以∠AMP为直角的等腰直角三角形，求出点M的坐标． 解：（1）把x＝2代入直线l的表达式得：m23，点B（2，3）， 令y＝0，则x＝﹣2，即点A（﹣2，0）， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得： ， 解得：， 答：直线BC的表达式为：y＝﹣3x+9； （2）过点O作OD∥AB交BC于点D，则D点为所求， 直线AB表达式得k值为，则直线OD的表达式为yx， 将直线BC与OD表达式联立并解得：x， 即点D的坐标为（