课时达标检测(22) 三角恒等变换的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

课时达标检测(二十二)　三角恒等变换的应用 学生用书P107 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.cos 72°-cos 36°的值为 (　　) A.3-2 　B. C.- D.3+2 解析　cos 72°-cos 36°=-2sin·sin=-2sin 54°sin 18°=-2cos 36°cos 72°=-2=-=-=-。故选C。 答案　C 2.已知tan=3,则cos α= (　　) A. B.- C. D.- 解析　由已知得tan2==9,所以cos α=-。故选B。 答案　B 3.已知sin 2α=,则cos2α-= (　　) A.- B.- C. D. 解析　cos2α-====。 答案　D 4.在△ABC中,若sin Asin B=cos2,则△ABC是 (　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.不等边三角形 D.直角三角形 解析　sin Asin B=(1+cos C),即2sin Asin B=1+cos C,所以2sin Asin B=1-cos Acos B+sin Asin B,故得cos(A-B)=1,又因为A-B∈(-π,π),所以A-B=0,即A=B,则△ABC是等腰三角形。 答案　B 5.若cos α=-,α是第三象限角,则= (　　) A.- B. C.2 D.-2 解析　因为α是第三象限角,cos α=-,所以sin α=-,所以tan===-3,所以==-。 答案　A 6.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β= (　　) A.- B.- C. D. 解析　因为α,β∈(0,π),所以sin α+sin β>0,所以cos β-cos α>0,所以cos β>cos α。又在(0,π)上,y=cos x是减函数,所以β<α,所以0<α-β<π。由原式可知2sin·cos=-2sin·sin,所以tan=,所以=,所以α-β=。 答案　D 二、多项选择题 7.已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论正确的是 (　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间上是增函数 C.函数f(x)的图像关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析　由题意,可得f(x)=-cos x。对于选项A,T==2π,所以选项A正确;对于选项B,y=cos x在0,上是减函数,所以函数f(x)在区间上是增函数,所以选项B正确;对于选项C,f(-x)=-cos(-x)=-cos x=f(x),所以函数是偶函数,所以其图像关于直线x=0对称,所以选项C正确,选项D错误。故选ABC。 答案　ABC 8.如果若干个函数的图像经过平移后能够重合,则称这些函数为“同族函数”。给出下列函数,其中与函数f(x)=sin x-cos x是“同族函数”的是 (　　) A.f(x)=2sin xcos x+1 B.f(x)=2sinx+ C.f(x)=sin x+cos x D.f(x)=sin 2x+1 解析　A式化简f(x)=sin 2x+1,C式化简f(x)=2sinx+,f(x)=sin x-cos x=2sinx-,显然A中的周期、D中的振幅和周期与已知函数不符,B,C符合。 答案　BC 三、填空题 9.设5π<θ<6π,cos=a,则sin的值等于　　　　。  解析　sin2=,因为θ∈(5π,6π),所以∈,,所以sin=-=-。 答案　- 10.已知tan θ=2,则cos 2θ=　　　　;tan=　　　　。  解析　cos 2θ=cos2θ-sin2θ====-,tan===。 答案　-　 11.已知函数f(x)=2sincos+2cos2-1(ω>0)的最小正周期为π,当x∈0,时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则x1+x2=　　　　,f(x1+x2)=　　　　。  解析　函数f(x)=2sin·cos+2cos2-1=sin ωx+cos ωx=2sinωx+。由T==π,可得ω=2,所以f(x)=2sin2x+。因为x∈0,,所以≤2x+≤,所以-1≤f(x)≤2。画出f(x)的图像(图略),结合图像知x1+x2=,则f(x1+x2)=f=2sin+=2sin=1。 答案　　1 四、解答题 12.已知2sin x=cos x。 (1)求sin2x-sin xcos x的值; (2)若π<x<2π,求tan的值。 解　(1)由2sin x=cos x得tan x=,则sin2x-sin xcos x===-。 (2)解法一:tan x==⇒tan2+4tan-1=0, 得tan=-2±,由π<x<2π及tan x=>0得π<x<, 则<<,所以tan=-2-。 解