课时达标检测(20) 两角和与差的正切-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

课时达标检测(二十)　两角和与差的正切 学生用书P103 基础达标 　 一、单项选择题 1.tan 15°+tan 75°= (　　) A.2 B.2+ C.4 D. 解析　tan 15°+tan 75°=tan(45°-30°)+tan(45°+30°)=+=4。故选C。 答案　C 2.若tan+α=2,则tan α的值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析　tan+α==2,解得tan α=。故选A。 答案　A 3.设sin α=<α<π,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为 (　　) A.- B.- C.- D.- 解析　因为sin α=<α<π,所以cos α=-,所以tan α=-,因为tan(π-β)=,所以-tan β=,即tan β=-,所以tan(α-β)==-。故选C。 答案　C 4.若A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是 (　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 解析　tan A+tan B=>0,tan Atan B=>0,所以tan C=-tan(A+B)=-=-<0,即角C为钝角。故选A。 答案　A 5.tan 75°-tan 15°-tan 15°tan 75°的值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析　因为tan 60°=tan(75°-15°)==,所以tan 75°-tan 15°=(1+tan 15°tan 75°),所以tan 75°-tan 15°-tan 15°tan 75°=。故选A。 答案　A 6.已知tan α,tan β是关于x的一元二次方程x2+6x+2=0的两个实数根,则= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析　因为tan α,tan β是关于x的一元二次方程x2+6x+2=0的两个实数根,所以tan α+tan β=-6,tan αtan β=2。 则= ===-2。故选C。 答案　C 二、多项选择题 7.下列式子结果为的是 (　　) A.tan 25°+tan 35°+tan 25°tan 35° B.2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°) C. D. 解析　对于A,利用正切的变形公式可得原式=。对于B,原式可化为2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°=。对于C,原式==tan 60°=。对于D,原式==tan(45°-15°)=,故选ABC。 答案　ABC 8.若tan α=lg(10a),tan β=lg,且α+β=,则实数a的值为 (　　) A.1 B. C.10 D.11 解析　tan(α+β)=1⇒==1⇒(lg a)2+lg a=0,所以lg a=0或lg a=-1,即a=1或a=。 答案　AB 三、填空题 9.已知A,B都是锐角,且(1+tan A)(1+tan B)=2,则A+B=　　　　。  解析　(1+tan A)(1+tan B)=1+tan Atan B+tan A+tan B=2,所以tan Atan B=1-(tan A+tan B)。所以tan(A+B)==1。因为A,B都是锐角,所以0<A+B<π,所以A+B=。 答案　 10.已知3tan αtan(α+β)=4[tan(α+β)-tan α-tan β],且cos(π+β)>0,则sin(β-3π)=　　　　。  解析　由tan(α+β)=,得tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),代入3tan αtan(α+β)=4[tan(α+β)-tan α-tan β]中,得3tan αtan(α+β)=4[tan(α+β)-tan(α+β)(1-tan αtan β)],即3tan αtan(α+β)=4tan(α+β)tan αtan β,故tan β=。因为cos(π+β)>0,所以cos β<0,所以角β为第三象限角,即sin(β-3π)=-sin β=。 答案　 11.已知tan(α+β)=,tanβ-=-2,则tanα+=　　　　,tan(α+2β)=　　　　。  解析　tanα+=tan(α+β)-β-===-8。又tanβ-==-2,解得tan β=-,所以tan(α+2β)==。 答案　-8　 四、解答题 12.已知α为第二象限角,sin α=,β为第一象限角,cos β=,求tan(2α-β)的值。 解　因为α为第二象限角,且sin α=, 所以cos α=-,所以tan α=-。 又β为第一象限角,且cos β=, 所以sin β=,所以tan β=。 解法一:因为tan(α-β)= ==, 所以tan(2α-β)=tan[