课时达标检测(19) 两角和与差的正弦-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十九)　两角和与差的正弦 学生用书P101 基础达标 　 一、单项选择题 1.sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)cos(110°-x)的值为 (　　) A. B. C. D. 解析　原式=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)cos[90°-(x-20°)]=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°)=sin[(65°-x)+(x-20°)]=sin 45°=。故选B。 答案　B 2.若在△ABC中,C=90°,AC=3,BC=4,则sin(A-B)的值是 (　　) A. B. C. D. 解析　由题目条件,可知cos A=,sin A=,sin B=,cos B=,所以sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=×-×=。故选D。 答案　D 3.cos α-sin α化简的结果可以是 (　　) A.sin B.2sin C.sin D.2sin 解析　cos α-sin α=2=2sincos α-cossin α=2sin。故选D。 答案　D 4.设α∈,β∈,若cos β=-,sin(α+β)=,则sin α的值为 (　　) A. B. C. D. 解析　由cos β=-,sin(α+β)=,可得sin β=,cos(α+β)=-。所以sin α=sin[(α+β)-β]=×-×=。故选C。 答案　C 5.已知向量a=(,-),b=(cos α,sin α),则|a-b|的最大值为 (　　) A.1 B. C.3 D.9 解析　因为|a-b|===,所以当sinα-=1时,|a-b|取得最大值,为3。故选C。 答案　C 6.在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则C的大小为 (　　) A. B.π C.或π D.或π 解析　①2+②2,得9+16+24sin(A+B)=37,所以sin(A+B)=。所以在△ABC中,sin C=,所以C=或C=π。若C=π,则A+B=,因为1-3cos A=4sin B>0,所以cos A<。又因为<,所以A>。此时A+C>π,不符合题意,所以C≠π,所以C=。故选A。 答案　A 二、多项选择题 7.在下列区间中,使函数f(x)=sin x-cos x(x∈[-π,π])单调递增的是 (　　) A. B. C. D. 解析　因为f(x)=2sin,所以f(x)的单调递增区间为2kπ-,2kπ+(k∈Z)。令k=0得单调递增区间为-,。因为x∈[-π,π],所以f(x)在,,上单调递增。故选CD。 答案　CD 8.在△ABC中,cos A=,sin B=,则cos C= (　　) A.- B. C.- D. 解析　因为cos A=,所以sin A=<sin B=,所以cos B=-或cos B=。当cos B=时,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B-sin Asin B=-×-×=;当cos B=-时,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B-sin Asin B=-×--×=。 答案　BD 三、填空题 9.已知cos θ=0<θ<,则sin θ=　　　　,sinθ+=　　　　。  解析　因为cos θ=0<θ<,所以sin θ==,所以sinθ+=sin θcos+cos θsin=×+=。 答案　　 10.若函数f(x)=4sin x+acos x的最大值为5,则常数a=　　　　。  解析　函数f(x)=4sin x+acos x=sin(x+θ),其中cos θ=,sin θ=,故f(x)的最大值为=5,解得a=±3。 答案　±3 11.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则=　　　　。  解析　由题可知sin αcos β+cos αsin β=,sin αcos β-cos αsin β=,则sin αcos β=,cos αsin β=,所以==7。 答案　7 四、解答题 12.已知cos α=,α∈,sin β=-,β是第三象限角。求sin(α+β),sin(α-β)的值。 解　因为cos α=,α∈, 所以sin α==。 因为sin β=-,β是第三象限角, 所以cos β=-=-。 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =×+× =-, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =×-×=。 13.已知函数f(x)=sin x-acos x(x∈R)的图像经过点,1。 (1)求实数a的值; (2)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间。 解　(1)由函数f(x)的图像经过点,1, 可知sin-acos=1,