课时达标检测(17) 向量数量积的坐标运算-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十七)　向量数量积的坐标运算 学生用书P097 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x等于 (　　) A.1 B. C.- D.-1 解析　由向量a=(1,-1),b=(2,x),a·b=1,得a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1⇒x=1。故选A。 答案　A 2.已知向量=,=,则∠ABC= (　　) A.30° B.45° C.60° D.120° 解析　由已知可知,·=,||=||=1,所以cos∠ABC=cos <,>==。所以∠ABC=30°。故选A。 答案　A 3.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在上投影的数量是 (　　) A.-3 B.- C.3 D. 解析　依题意,得=(-2,-1),=(5,5),·=(-2,-1)·(5,5)=-15,||=,因此向量在上投影的数量是==-3,选A。 答案　A 4.已知平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1,则|a+2b|= (　　) A. B.2 C.4 D.12 解析　因为a=(2,0),|b|=1,所以|a|=2,a·b=2×1×cos 60°=1。所以|a+2b|==2。故选B。 答案　B 5.已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为 (　　) A.- B. C.- D. 解析　由a=(-3,2),b=(-1,0),知λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2)。又(λa+b)·(a-2b)=0,所以3λ+1+4λ=0,所以λ=-。故选A。 答案　A 6.已知向量a=(1,2),b=(2,-3)。若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c= (　　) A., B.-,- C., D.-,- 解析　设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),又(c+a)∥b,所以2(y+2)+3(x+1)=0　①。又c⊥(a+b),所以(x,y)·(3,-1)=3x-y=0　②。由①②解得x=-,y=-。故选D。 答案　D 二、多项选择题 7.已知向量a=(3,4),b=(-4,-3),则下列说法正确的是 (　　) A.a与b的夹角是钝角 B.a与b的夹角是锐角 C.a+b与a-b的夹角是钝角 D.a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量 解析　由向量a=(3,4),b=(-4,-3),得a·b=-24<0,所以a与b的夹角是钝角。(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b的夹角是直角。a在b上投影的数量为|a|cos <a,b>==-,b在a上投影的数量为|b|cos <a,b>==-。故选AD。 答案　AD 8.在△ABC中,=(2,3),=(1,k),若△ABC是直角三角形,则k的值为 (　　) A.- B. C. D. 解析　因为=(2,3),=(1,k),所以=-=(-1,k-3)。若A=90°,则·=2×1+3×k=0,所以k=-;若B=90°,则·=2×(-1)+3(k-3)=0,所以k=;若C=90°,则·=1×(-1)+k(k-3)=0,所以k=。故所求k的值为-或或。故选ABC。 答案　ABC 三、填空题 9.已知A(7,5),B(2,3),C(6,-7),判断△ABC的形状为　　　　。  解析　=(-5,-2),=(-1,-12),=(4,-10),所以·=-5×4+(-2)×(-10)=0,所以AB⊥BC。 答案　直角三角形 10.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=　　　　。  解析　a-2b=(,1)-2(0,-1)=(,3),因为a-2b与c共线,所以×-3×k=0,解得k=1。 答案　1 11.已知正方形ABCD的边长为2,点P满足=(+),则||=　　　　;·=　　　　。  解析　 以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),=(+)=(2,0)+(2,2)=(2,1),则点P(2,1),所以=(-2,1),=(0,-1),因此,||==,·=0×(-2)+1×(-1)=-1。 答案　　-1 四、解答题 12.已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c =(4,y),且a∥b,a⊥c。 (1)求b和c; (2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m与向量n的夹角的大小。 解　(1)因为a∥b, 所以3x-36=0,所以x=12。 因为a⊥c,所以3×4+4y=0。 所以y=-3。 所以b=(9,12),c=(4,-3)。 (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),n=a+