8.1.3 第1课时 向量的坐标与向量的数量积（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 ◇[变式训练] 规律方法 4.已知向量a,b,c,满足a+b+c=0,且a=3,b 1.求向量夹角时要注意： =5,c=7. (1)求a与b的夹角0； (1)当已知a,b是非坐标形式时，需求得a·b及a, (2)是否存在实数：使ua十b与a一2b垂直？ b或它们之间的关系； (2)当已知a,b的坐标时，可直接利用公式求解. (3)注意夹角的范围为[0，π]. 2.灵活应用a=a2,这给出了解决与模有关问 题的思路 随堂。步步夯实 1.下面给出的关系式中正确的个数是 () 5.已知向量a,b的夹角为60°，且|a=2,b=1,若c ①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a2;④a·b =2a-b,d=a+2b,求： ≤a·b⑤(a·b)2=a2·b2. (1)c·d;(2)c+2d. A.1B.2C.3D.4 2.设向量a,b满足a=|b=1及3a-2b=√7，则 a,b的夹角为 () A号 B吾C平D 3.若a=4,|b=2,(b+a)·(b-a)=3a·b,则向 量a与向量b夹角为 A号 B.CF D. ⊙温馨提 4.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3,点P在 学习至此，请完成配套训练 AM上，且满足AP=2PM,则PA·(PB+PC)= 8.1.3 向量数量积的坐标运算 第1课时 向量的坐标与向量的数量积 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标 通过推导数量积的坐标运算及通过求 运算 夹角和模，体会逻辑推理素养及数学 2.能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两 运算素养 点间的距离公式 课前。预习学案 [情境引入] 膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的 “我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，飞过绝 “翅膀”一一坐标表示，它使平面向量的数量积同时具 望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳 有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几 也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞， 何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究. 给我希望…”，如果能为平面向量的数量积插上“翅 ·63· 必修第三册 数学B [问题]在平面直角坐标系 3.两点间的距离公式：若A(x1,y1),B(x2,y2),则 中，设i,j分别是x轴和y轴 IABI= 方向上的单位向量，a=(3, 2),b=(2,1),则a·b的值为 2思考1.已知a=(1,1),b=(2,3),如何求|a+ 多少？a·b的值与a,b的坐 0 b? 标有怎样的关系？若a=(1, y1),b=(x2y2),则a·b为多少？ [知识点三]向量的夹角公式 [知识梳理] cos 0=- a·b a b [知识点一]平面向量数量积的坐标表示 设向量a=(21,y1),b=(x2y2),则a·b= 2思考2.a·b<0,能说明向量a·b的夹角0是钝 ,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 角吗？ 若a=(x1y1),b=(x2y2),0是a与b的夹角，则 (1)a.b=lalblcos 0=z1z2+y1y2; 特别地a·a=a2=a2=x7+yi, [预习自测] 即a=√x+y (2)当a,b同向时， 1.已知a=(0,1),b=(2,-1),则a·b等于() A.1 B.-1 a·b=a|b|=√Jx+y·√x+y%: 当a,b反向时， C.2 D.-2 2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余 a·b=-|a|b=-√x+y听·√x+y; 弦值为 ) 当a,b垂直时， a·b=a|bcos90°=x1x2+y1y2=0. A器 B 65 (3)a·b≤al|b, 即a·b=1x2十y1y2≤√x+y1·√a2+y2, c碧 D.-63 65 [知识点二]向量模的计算公式 3.已知向量a=(1,2),b=(x,4),若b=2a,则x 1.若a=(x,y),则a= 的值为 2.如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(，y), A.4 B.2 (x2y2),那么a= C.±4 D.士2 课堂。互动学案 题型一向量数量积的坐标表示 规律方法 [例1]已知向量a=(1,2),b=(3,4),求a·b,(a (1)涉及向量数量积的坐标表示一殷利用公式a b)·(2a+3b). ·b=x1x2+y1y2求解，其关键是求出a,b的坐 标.(2)若题中涉及图形，则要充分利用向量终点 汇思路点拨]利用数量积的坐标表示可直接求a 坐标与起点坐标之差求出向量的坐标，再由向量 ·b;(a一b)·(2a十3b)可以先展开再求值，也可 坐标求得数量积. 先分别求a-b及2a十3b的坐标，再求值. ◇[变式训练] 1.已知向量a与b同向，b=(1,2),a·b=20. (1)求向量a的坐标； (2)若c=(2,1),求(b·c)·a. ·64· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 题型二 平面向量的模 题型 两向量的夹角 [例2]已知平面向量a=(3,5),b=(-2,1). [例3]已知OP=(2,1),OA=(1,7),OB=(5,1), (1)求a一2b及其模的大小： 设C是直线OP上的一点（其中O为坐标原点）. (2)若c=a-(a·b)b,求|c. (1)求使CA·CB取得最小值时的OC: 汇思路点拨]利用求模公式求解. (2)对(1)中求出的点C,求cos∠ACB [思路点拨]利用夹角公式直接求解。 规律方法 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两 个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式 规律方法 求出夹角的余弦值，进而求出夹角。 求向量a=(x,y)的模的常见思路及方法 ◇[变式训练] (1)求模问题一般转化为求模的平方，要灵活应用 3.已知向量a=e1-e2,b=4e1+3e2,其中e1=(1,0), 公式a2=a2=x2十y2,求模时，勿忘记开方. e2=(0,1). (1)试计算a·b及a+b的值； (2)a·a=a2=|a2或|a=√a=√a+y,此 (2)求向量a与b夹角的余弦值. 性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向 量运算的相互转化. ⊙[变式训练] 2.(1)已知向量a=(2,1),a·b=10,a+b=5√2， 则b= () A.√5B./10 C.5D.25 (2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1, 3),则a-2b= 随堂。步步夯实 1.若向量a=(x,2),b=(一1,3)，a·b=3,则x= 4.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b2=a2+ b2,则m= A.3 B-3C号 n.- 5已知点A2,)B(2)则与向量铜方 2.已知a=(一√5，-1)，b=(1,√5)，那么a,b的夹角 向的单位向量是 0= ) A答 B晋 c A(g-) B(侍) 3.已知向量a=(1,√3)，b=(3,m).若向量a,b的夹 c() D(合) 角为，则实数m ( ©温馨提 A.23B.3C.0D.-3 学习至此，请完成配套训练 ·65·必修第三册 又.a·b=al|bcos0, :1 2 =3X5×cos0, 0s0=号即9=60. (2)(n+b)⊥(a-2b), .(a+b)·(a-2b)=0, a2-2b2-2a·b+a·b=0, 9g-2X25-20×5+2-0 85 μ=一12 存在=管使得四十b与a一h垂直. 随堂步步夯实 1.C[①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2=(a|bcos 0)2=a2·b2cos20,故选C.] 2.A[设a与b的夹角为0， 由题意得(3a-2b)2=7, .9la2+4b2-12a·b=7, 1 又a=|b=1,∴.a·b=2, alb1cos0=号即cos0=子 又9e[0]a,b的夫角为行.] 3.B[a=4,b|=2,(b+a)·(b-a)=3a·b,.b2 a2=3a·b=4-16=-12,故3a·b=-12,得a·b= -4, 设向量a与向量b的夹角为0，则cos0=a,1b=4×2 a·b -4 =一司则0=，故选B] 4.解析：如图，由AM=3,且AP=2PM,可 知AP|=2. M为BC的中点， ∴.PB+PC=2PM=AP, ..PA.(PB+PC)=PA.AP=-AP2= |AP2=-4. 答案：一4 5.解：(1)c·d=(2a-b)·(a+2b) =2a2-2b2+3a·b =2×4-2×1+3×2X1×7=9. (2)c+2d2=(4a+3b)2 =16a2+9b2+24a·b =16×4+9×1+24×2×1×7=97, .|c+2d=√97. 8.1.3向量数量积的坐标运算 第1课时向量的坐标与向量的数量积 课前预习学案 情境引入 提示：a·b=x1x2十y1y2 知识梳理 知识点一、x1x2十y1y2乘积的和 知识点二、1.√x2+y22.√(x2-x1)2+(2-1)2 3.√J(x1-x2)2+(y1-y2)2 知识点三干干 xx2+y1y2 ·1 数学B [思考] 1.提示：方法一：a十b=(1,1)+(2,3)=(3,4), .a+b=√32+42=5. 方法二：a2=12+12=2,b12=22+32=13,a·b=1× 2+1×3=5. ∴.|a+b1=√a2+2a·b+b=√2+2X5+13=5. 2.提示：不能.因为a·b<0还包括a、b反向，即a、b夹角 是180°. 预习自测 1.B2.A 3.D[1b=√x2+16,a=√1+4=√5， ∴√Jx2+16=2√5，解得x=士2.] 课堂互动学案 [例1][解]（方法一）a=(1,2),b=(3,4), .a·b=(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11, (a-b)·(2a+3b)=2a2+a·b-3b2=2a2+a·b-3 b2=2×(12+22)+11-3×(32+42)=-54. (方法二)a=(1,2),b=(3,4),a·b=11. a-b=(1,2)-(3,4)=(-2,-2), 2a+3b=2(1,2)+3(3,4)=(2×1+3×3,2×2+3×4)= (11,16), .(a-b)·(2a+3b)=(-2,-2)·(11,16)=-2×11+ (-2)×16=-54. 变式训练 1.解：(1)a与b同向，且b=(1,2), .可设a=b=入(1,2)=（入，2λ），且A>0. 又由a·b=20,可得1×入十2×2入=20， 解得入=4>0..a=(4,8). (2),b·c=(1,2)·(2,1)=1×2+2×1=4, .(b·c)·a=4(4,8)=(16,32). [例2][解](1)a=(3,5),b=(-2,1), .a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3+4,5-2)=(7,3), .a-2b|=√72+32=√58. (2)a·b=-6+5=-1, ∴.c=a+b=(1,6), .|cl=12+62=√37. 变式训练 2.解析：(1)a=(2,1),∴a2=5, 又a+b|=5√2，∴.(a+b)2=50,即a2+2a·b+b2=50, .5+2×10+b2=50,.b2=25,.b=5. (2)由a+b=(1,3),得a=(2,1),.a-2b=(4,-3), ∴.a-2b1=√/42+（-3)2=5. 答案：(1)C(2)5 [例3][解](1)：点C是直线OP上的一点， ∴.向量OC与OP共线， 设OC=tOP(t∈R),则OC=t(2,1)=(2t,t), ∴.CA=OA-O元=(1-2t,7-t), CB=OB-OC=(5-2t,1-t), ∴.CA·CB=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)=5t2-20t +12=5(t-2)2-8. 当t=2时，CA.CB取得最小值，此时O元=(4,2). (2)由(1)知OC=(4,2), ∴.CA=(-3,5),CB=(1,-1), .1CA=√34，CBl=2,CA·CB=-3-5=-8. ∴os∠ACB=CA·Ci47 ICAIICBI 17 变式训练 3.解：(1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1,-1) b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3), .a·b=4×1+3×(-1)=1, |a+b=√(4+1)2+(3-1)z=√25+4=√29. (2)设a,b)=0,由a·b=a bcos0, ∴cos0=a·b 1ab√2×510 随堂步步夯实 1.A[a·b=-x+6=3,故x=3.] 2.D[as9=-=又国为0e[0,,所以0 =5.] 6 3.B[a·b=(1,W3)·(3,m)=3+√3m, |a=2,|bl=√9+m2 后-2好 4.解析：法一a十b=(m十1,3)， 又|a+b12=a|2+1b12. .(m+1)2+32=m2+1+5, 解得m=-2. 法二由a+b12=a2+b12, 得a·b=0,即m十2=0，解得m=-2. 答案：一2 5.C[与向量丽=（号2)同方向的单位向量是 AB ABI 9 号(2-()门 W4+4 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 课前预习学案 情境引入 提示：a⊥b台a·b=0台x1x2十y1y2=0 知识梳理 知识点x1x2十y1y2=0 [思考] 提示：若a∥b台x1y2=x2y1,即x1y2-x2y=0.若a⊥b 台x1x2=一y1y2,即x1x2十y1y2=0.两个命题不能混淆， 可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵 积相反. 预习自测 1.A[由a=(-3,2),b=(-1,0), 知a+b=(-3入-1,2入)，a-2b=(-1,2). 又(a+b)·(a-2b)=0, .3入+1+4λ=0， A=-7] 2.A「由题意，设b=a=(入，一2入)（入<0），由于b= 3√5. ∴.|b|=√2-(-2λ)7=√5x2=3√5，.λ=-3，即b= (-3,6).] ·11 参考答案 3.解析：因为在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(-4, 2),AC·BD=0, 所以四边形ABCD的对角线互相垂直， 又因为|AC|=√2+22=√5，|BD|=√(-4)2+22= 25, 所以该四边形的面积21Ad·防=号×5×2后 =5. 答案：5 课堂互动学案 [例1][解]根据直角的位置不同，可分为3种情形： (1)若∠A=90°，则AB·AC=0, 即2+3谈=0，得=一号： (2)若∠B=90°，则AB·BC=0, 因为BC=AC-AB=(-1,k-3), 所以-2+3(k-3)=0,得= 3 (3)若∠C=90°，则AC.BC=0, 所以-1十(k-3)=0,得k=3±图 2 综上可知，=一号或及=号或k=3生国 3 2 变式训练 1.解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 又ka+b与a-3b垂直，故(ka十b)·(a-3b)=0. 即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,得k=19. [例2][证明]建立如图所示的平 面直角坐标系，设AB=2, D 则A(0,0),B(2,0). (1)BE=(-1,2),CF=(-2,-1). .BE·CF=(-1)X(-2)+2X A(0) (-1)=0, ∴BE⊥CF,即BE⊥CF. (2)设，点P坐标为(x,y),则FP=(x,y-1), FC=(2,1), FP∥FC, .x=2(y-1),即x=2y-2, 同理，由BP∥BE得y=-2x+4, 6 由=2y2得 x 0y=-2x+4, 8 =5 点P的坐标为（信） √()+()=2=A1,即AP=AB. 变式训练 2.证明：建立如图所示的直角坐标系， 设A(a,0),则B(0,a),E(x,y). D是Bc的中点D(0,受) 又AE=2EB, 0(C .(x-a,y)=2(-x,a-y), 5