课时达标检测(16) 向量数量积的运算律-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十六)　向量数量积的运算律 学生用书P095 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos <a,a+b>= (　　) A.- B.- C. D. 解析　因为|a|=5,|b|=6,a·b=-6,所以a·(a+b)=|a|2+a·b=52-6=19,|a+b|====7,因此,cos <a,a+b>===。故选D。 答案　D 2.已知|m|=2,|n|=1,且(m+kn)⊥(m-3n),m⊥n,则k等于 (　　) A. B. C.- D.- 解析　由m⊥n,得m·n=0。由(m+kn)⊥(m-3n),得(m+kn)·(m-3n)=0,所以m2+km·n-3m·n-3kn2=0,即|m|2-3k|n|2=0,所以k==。 答案　A 3.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足=2,则·(+)= (　　) A. B. C.- D.- 解析　因为M是BC的中点,点P在AM上,且满足=2,所以+=2=,AP=,所以·(+)==。 答案　A 4.已知不共线向量a,b,|a|=2,|b|=3,a·(b-a)=1,则|b-a|= (　　) A. B.2 C. D.2 解析　因为a·(b-a)=1,所以a·b-a2=1,即a·b=1+a2=5,所以|b-a|===。 答案　A 5.已知两个单位向量e1,e2的夹角为45°,且满足e1⊥(λe2-e1),则实数λ的值为 (　　) A.2 B. C.-2 D.- 解析　由题意得e1·e2=1×1×cos 45°=。因为e1⊥(λe2-e1),所以e1·(λe2-e1)=0,即λe1·e2-=0,即λ-1=0,解得λ=。故选B。 答案　B 6.若两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则向量a+b与a-b的夹角为 (　　) A. B. C. D. 解析　 由题意可得以向量a,b为邻边的平行四边形ABCD是矩形,且对角线长度为|a|,画出图形,如图所示,其中=a,=b。因为===cos∠BAC,所以∠BAC=,所以∠OBA=。因为∠COB=∠OAB+∠OBA,所以∠COB=。故向量a+b与a-b的夹角为。故选B。 答案　B 二、多项选择题 7.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角可能是 (　　) A. B.π C. D. 解析　由于|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则|a|2-4a·b≥0,设向量a与b的夹角为θ,则cos θ=≤=,所以θ∈,π。故选ABC。 答案　ABC 8.设a,b,c是平面内任意的非零向量,且相互不共线,则下列结论正确的有 (　　) A.(a·b)·c-(c·a)·b=0 B.|a|-|b|<|a-b| C.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 解析　由b,c是平面内任意向量知A错误;由三角形的三边关系得B正确;由[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0得C错误;D显然正确。 答案　BD 三、填空题 9.设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=　　　　。  解析　因为a,b为单位向量,所以|a|=|b|=1,所以|a+b|====1,解得2a·b=-1,所以|a-b|===。 答案　 10.已知向量⊥,||=3,则·=　　　　。  解析　因为⊥,||=3,所以·=·(+)=||2+·=||2=32=9。 答案　9 11.已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b·(a-b)=0,则|b|的取值范围是　　　　。  解析　b·(a-b)=a·b-|b|2=|a||b|cos θ-|b|2=0,所以|b|=|a|cos θ=cos θ(θ为a与b的夹角),θ∈[0,π],所以0≤|b|≤1。 答案　[0,1] 四、解答题 12.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是60°,计算: (1)(2a+b)·(2a-b); (2)|4a-2b|。 解　(1)(2a+b)·(2a-b)=(2a)2-b2=4|a|2-|b|2=4×42-82=0。 (2)因为|4a-2b|2=(4a-2b)2=16a2-16a·b+4b2=16×42-16×4×8×cos 60°+4×82=256,所以|4a-2b|=16。 13.已知平面内三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角为120°。 (1)求证:(a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围。 解　(1)证明:因为|a|=|b|=|c|=1, 且a,b,c之间夹角均为120°, 所以(a-b)·c=