课时达标检测(15) 向量数量积的概念-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十五)　向量数量积的概念 学生用书P093 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角θ=150°,则a·b= (　　) A.-6 B.6 C.-6 D.6 解析　a·b=|a||b|cos θ=3×4×cos 150°=-6。 答案　C 2.若e1,e2是两个互相平行的单位向量,则下列判断正确的是 (　　) A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1 C.e1·e2=±1 D.|e1·e2|<1 解析　因为|e1|=|e2|=1,且e1∥e2,所以<e1,e2>=0或π,所以e1·e2=±1。故选C。 答案　C 3.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则<a,b>等于 (　　) A.150°　　　B.120° C.60°　　　D.30° 解析　 如图所示。因为|a|=|b|=|c|,所以△OAB是等边三角形。所以<a,b>=120°。 答案　B 4.向量a的模为10,它与x轴正方向的夹角为150°,则它在x轴正方向上的投影的数量为 (　　) A.-5 B.5 C.-5 D.5 解析　a在x轴正方向上的投影的数量为|a|cos 150°=-5。 答案　A 5.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中,最大的是 (　　) A.· B.· C.· D.· 解析　设正六边形的边长为a,则·=a2,·=a2,·=0,·=-a2。 答案　A 6.已知等腰直角三角形ABC中,C=90°,且S△ABC=1,则下列结论错误的是 (　　) A.·=0 B.·=2 C.·=2 D.||cos B=|| 解析　在等腰直角三角形ABC中,C=90°,面积为1,则AC2=1,得AC=,得AB=2,所以·=0,选项A正确。·=||||cos 45°=2,选项B正确。·=||||cos 135°=-2,选项C不正确。向量在上投影的数量为||,即||cos B=||,选项D正确,故选C。 答案　C 二、多项选择题 7.下列命题中是真命题的是 (　　) A.|a·b|=|a|·|b| B.a·b=0⇔a=0或b=0 C.|λa|=|λ|·|a| D.λa=0⇔λ=0或a=0 答案　CD 8.已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列结论中正确的有 (　　) A.e1在e2上的投影为cos θ B.e1·e2=1 C.= D.(e1+e2)⊥(e1-e2) 解析　因为e1,e2为单位向量,所以|e1|=|e2|=1,e1在e2上的投影为|e1|·cos θ·e2=cos θ·e2,A项错误;e1·e2=1×1×cos θ=cos θ,不一定为1,B项错误;==1,C项正确;(e1+e2)·(e1-e2)=-=0,所以(e1+e2)⊥(e1-e2),D项正确。故选CD。 答案　CD 三、填空题 9.在△ABC中,设=a,=b,且|a|=2,|b|=1,a·b=-1,则∠ACB=　　　　。  解析　 如图所示,<a,b>=π-∠ACB。因为|a|=2,|b|=1,a·b=-1,所以cos <a,b>==-,所以<a,b>=,所以∠ACB=π-=。 答案　 10.若△ABC外接圆的半径为1,圆心为O,2++=0且||=||,则·=　　　　。  解析　 由题意,+=-2,所以O是边BC的中点,又因为O是外接圆圆心,所以BC是外接圆直径,∠A=90°,BC=2OA=2,如图所示,因为OB=OA=AB,所以∠B=60°,所以∠C=90°-∠B=30°,CA=CB·sin 60°=。所以·=×2×cos 30°=3。 答案　3 11.已知正方形ABCD的边长为2,则向量在上的投影的数量为　　　　,在上的投影的数量为　　　　。  解析　解法一:因为正方形ABCD的边长为2,⊥,所以向量在上的投影的数量为||cos 90°=0,在上的投影的数量为||cos 135°=2×-=-。 解法二:如图,正方形ABCD的边长为2,⊥,则向量在上的投影的数量为0,在上的投影的数量为,所以在上的投影的数量为-。 答案　0　- 四、解答题 12. 如图,在△ABC中,·=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点。 (1)求·的值; (2)判断·的值是否为定值,并说明理由。 解　(1)·=(+)·(-) =-=×64-×36 =14。 (2)·=(+)· =·+· =14,是定值。 13.在△ABC中,已知||=5,||=4,||=3,求: (1)·; (2)在上的投影的数量; (3)在上的投影的数量。 解　因为||=5,||=4,||=3。 所以△ABC为直角三角形,且C=90°。 所以cos A==,cos B==。 (1)·=-·=-5×