课时达标检测(14) 数学建模活动：周期现象的描述-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十四)　数学建模活动:周期现象的描述 学生用书P090 基础达标 　 一、单项选择题 1.某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示。 x 1 2 y 10 000 9 500 则此楼群在第3季度的平均单价大约是 (　　) A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 解析　因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,即所以易得3ω+φ=-+2kπ,k∈Z。又当x=3时,y=500sin(3ω+φ)+9 500,所以y=9 000。 答案　C 2. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x≥0)的部分图像如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于 (　　) A.2 B.2+ C.2+2 D.-2-2 解析　由图像可知,振幅为2,初相为0,周期为8,即A=2,φ=0,=8,从而f(x)=2sinx。故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2sin+2sin+2sin=2+2。 答案　C 3.单摆离开平衡位置O的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系为s=6sin2πt+,则单摆在摆动时,从最右边到最左边的时间为 (　　) A.2 s B.1 s C. s D. s 解析　由题意,知周期T==1 s,从最右边到最左边的时间是半个周期,为 s。 答案　C 4.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinx+φ+k。据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 (　　) A.5 B.6 C.8 D.10 解析　由题图可知-3+k=2,k=5,故y=3sin+5,所以ymax=3+5=8。 答案　C 5. 位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮,该摩天轮的直径均为124米,中间没有任何支撑,摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟。当乘客乘坐摩天轮到达最高点时,距离地面145米,可以俯瞰白浪河全景。如图中OA与地面垂直,垂足为点D,某乘客从D处进入A处的观景舱,顺时针转动t分钟后,第1次到达点B,此时点B与地面的距离为114米,则t= (　　) A.16分钟 B.18分钟 C.20分钟 D.22分钟 解析　 如图,过点O作OC⊥AD交☉O于点C,作BE⊥OC并延长交地面于点F。由题知OB=OA=62,BF=114,则OD=145-62=83。故BE=BF-OD=114-83=31。所以sin∠BOE===,即∠BOE=30°,所以∠BOD=120°。因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟,所以从A顺时针到B所需时间为30×=20(分)。故选C。 答案　C 6.如图所示,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图像大致是 (　　) A　B C　D 解析　设所对的圆心角为α,则α=l,弦AP的长d=2·|OA|·sin,即有d=f(l)=2sin。故选C。 答案　C 二、多项选择题 7.有一冲击波,其波形为函数y=-sin的图像,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰,则正整数t的可能取值是 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析　由T=知T=4,当0≤x≤1时函数单调递减,1<x<3时函数单调递增,x=3时y=1,所以自0开始向右的第1个波峰所对的x值为3,第2个波峰对应的x值为7,所以在[0,t]上至少有两个波峰,则t至少为7。故选CD。 答案　CD 8.已知弹簧上挂着的小球做上下振动,它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s=2sint+。则下列说法中正确的是 (　　) A.小球开始时在平衡位置上方 cm处 B.小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处 C.经过2π s小球重复振动一次 D.小球振动的频率为 解析　当t=0时,s=2sin0+=,故A正确;smin=-2,故B正确;函数的最小正周期T=2π,故C正确。频率f==,D也正确。 答案　ABCD 三、填空题 9. 一个单摆如图所示,小球偏离铅垂方向的角为α(rad),α作为时间t(s)的函数,满足关系α(t)=sin。经过　　　　s单摆完成5次完整摆动。  解析　由已知可得函数的最小正周期T==π,所以要完成5次完整摆动,需要5个周期,即需要5π(s)。