8.2.4 三角恒等变换的应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

8.2.4　三角恒等变换的应用 　　 通过教材P99尝试与发现的推导,我们可以得到半角公式:sin=±,cos=±,tan=±,这样我们应用半角公式解决问题就更加宽泛了。 能运用三角恒等变换公式进行简单的恒等变换。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P058 　 知识点一、半角公式 1. sin=±。 2. cos=±。 3. tan=±。 知识点二、积化和差与和差化积公式 　　1.积化和差 cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)], sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)], sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)], cos αsin β =[sin(α+β)-sin(α-β)]。 2.和差化积 cos α+cos β=2coscos, cos α-cos β=-2sinsin, sin α+sin β=2sincos, sin α-sin β=2cossin。 微提醒 　　(1)积化和差公式的巧记口诀:余余相乘余和加,正正相乘余减反,正余相乘正相加,余正相乘正相减。注意前提是(α+β)在前面,(α-β)在后面。 (2)和差化积公式的特点:①同名函数的和或差才可化积。②余弦函数的和或差化为同名函数之积。③正弦函数的和或差化为异名函数之积。④等式左边为单角α和β,等式右边为与的形式。⑤只有余弦函数的差化成积式后的符号为负,其余均为正。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P058 　 类型一 半角公式的应用 　　命题方向1:利用半角公式求值 　　【例1】　已知sin α=-且π<α<π,求sin,cos,tan的值。 解　因为sin α=-,π<α<π, 所以cos α=-。 又<<π, 所以sin===, cos=-=- =-,tan==-4。 　　解决给值求值问题的思路 已知三角函数式的值,求其他三角函数式的值,一般思路为: (1)化简,先化简已知或所求式子。 (2)找可知,先观察已知条件与所求式子之间的联系。 (3)代入,将已知条件代入所求式子,化简求值。 给值求值的重要思想是建立已知式与欲求式之间的联系,应注意“配角”方法的应用 【变式训练】　已知cos θ=-,且<θ<π,tan的值为　　　　。  解析　由题可知,cos θ=-,<<。 解法一:因为sin===,cos===,tan==2。 解法二:tan===2。 答案　2 　　命题方向2:利用半角公式化简 　　【例2】　化简:··。 解　原式=··=·=·==tan。 　　利用半角公式化简的基本思路 (1)降次:一般运用公式cos2=,sin2=化次数较高的三角函数为次数较低的三角函数。 (2)统一函数名称:化多种三角函数为单一的三角函数。 (3)统一角:化多角为单一角,减少角的种类。 (4)弦切互化:一般地,若要化简的式子中含有正切,则需要将正切化为正余弦;有时候也需要将弦化为切,要视已知条件或式子结构而定 【变式训练】　化简:cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ=　　　　。  解析　cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-cos 2θ=+-cos 2θ=1+[cos(2θ+30°)+cos(2θ-30°)]-cos 2θ=1+cos 2θcos 30°-cos 2θ=1+cos 2θ-cos 2θ=1。 答案　1 类型二 积化和差与和差化积公式的应用 　　命题方向1:与三角函数有关的问题 　　【例3】　求函数y=sin x的最值。 解　y=sin x =sin x·2cossin =-sin xcos =- =-sin+, 因为sin∈[-1,1], 所以当sin=-1, 即x=kπ-,k∈Z时,ymax=; 当sin=1,即x=kπ+,k∈Z时,ymin=-。 　　利用和差化积与积化和差公式化简三角函数式的关键在于将不同角的正弦与余弦进行恰当组合。 组合时遵循的原则是:①应尽量使两角的和(差)出现特殊角;②对于特殊角的三角函数应求出其值。 【变式训练】　已知f(x)=sin-sinx+,则函数的周期为　　　　,最大值为　　　　。  解析　f(x)=sin-sin =2cossin =-cos。 所以函数周期为2π,最大值为。 答案　2π　 　　命题方向2:证明恒等式 　　【例4】　在△ABC中,求证: sin2A+sin2B-sin2C=2sin Asin Bcos C。 证明　左边=sin2A+- =sin2A+(cos 2C-cos 2B) =sin2(B+C)+sin(B+C)sin(B-C) =sin(B+C)[sin(B+C)+sin(B-C)] =s