8.2.3 倍角公式-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

8.2.3　倍角公式 　　 前面我们已经学了六个公式:Cα+β,Cα-β,Sα+β,Sα-β,Tα+β,Tα-β(其中α,β是使式子有意义的任意角),这样就构成了完整的和、差角的三角公式组,使得三角运算中许多问题得以解决。若在公式Sα+β,Cα+β,Tα+β中,α=β会出现什么结果呢? 能从两角和的三角公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P055 　 知识点一、倍角公式 知识点二、倍角公式的常用变形 　　(1)=cos α,=sin α;  (2)(sin α±cos α)2=1±sin 2α;  (3)sin2α=,cos2α=。 微提醒 　　(1)倍角公式中“二倍角”的相对性:两个角的比值等于2的情况都成立,如4α是2α的二倍、是的二倍、3α是的二倍等,这里蕴含着换元思想。 (2)倍角公式的使用范围:在公式S2α,C2α中,α为任意角;在公式T2α中,要保证tan α,tan 2α及分母1-tan2α有意义,故当α≠+kπ且α≠+(k∈Z)时,T2α才成立。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P055 　 类型一 给角求值 　　【例1】　求下列各式的值: (1)-sin215°; (2); (3)sin 50°(1+tan 10°)。 解　(1)-sin215°=(1-2sin215°)=cos 30°=。 (2)=2· =2·=-2。 (3)原式=sin 50° =sin 50°· =sin 50°· =sin 50°· =sin 50°· ===1。 　　倍角公式转化的策略 (1)探究角之间的“倍、半”关系,是恰好运用倍角公式的前提。 (2)注意角之间的“互补、互余”关系,能有效地进行角之间的互化。 (3)分析题设条件中所给式的结构特征,是有效进行三角变换的关键 【变式训练】　求下列各式的值: (1)coscoscos; (2)+。 解　(1)原式= = = ===。 (2)原式= = ===4。 类型二 给值(式)求值 　　【例2】　已知sin=,0<x<,求的值。 解　因为0<x<, 所以-x∈。 又因为sin=, 所以cos=。 又cos 2x=sin =2sincos =2××=, cos=sin =sin=, 所以原式==。 　　解决条件求值问题常用的两种途径 (1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢。 (2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢,以便将题设条件代入结论 【变式训练】　(1)若sin α-cos α=,则sin 2α=　　　　。  解析　(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-sin 2α=2⇒sin 2α=1-2=。 答案　 (2)已知cosx+=,x∈0,,则sin 2x=　　　　,cos 2x=　　　　。  解析　2x=2x+-,所以sin 2x=sin2x+-=-sin-2x+=-cos 2x+=-2cos2x+-1=-2×2-1=。因为x∈0,,所以x+∈,,所以sinx+=。所以cos 2x=cos2x+-=sin 2x+=2sinx+cosx+=2××=。 答案　　 类型三 倍角公式的应用 　　命题方向1:化简,证明 　　【例3】　证明下列恒等式。 (1)=tan4A; (2)=sin 2α。 证明　(1)因为左边= == =(tan2A)2=tan4A=右边, 所以=tan4A。 (2)证法一:左边= == ==sincoscos α =sin αcos α=sin 2α=右边, 所以原式成立。 证法二: 左边==cos2α·=cos2α·tan α=cos αsin α=sin 2α=右边, 所以原式成立。 　　化简证明常遵循以下规律:第一,从复杂端化向简单端;第二,化倍角为单角;第三,注意对数字的处理,尤其是“1”的妙用 【变式训练】　求证:=tan。 证明　左边= = = =tan=右边, 所以原式成立。 　　命题方向2:倍角公式与三角函数的综合应用 　　【例4】　已知函数f(x)=2sin2x+sin 2x-。 (1)求f(x)的最小正周期及对称中心; (2)若x∈-,,求f(x)的值域。 解　f(x)=2sin2x+sin 2x- =(1-cos 2x)+sin 2x- =(sin 2x-cos 2x) = =sin。 (1)f(x)的最小正周期T=π。 由2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z, 所以f(x)的对称中心为,k∈Z。 (2)因为-<x<,所以-π<2x-<, 从而-1≤sin<, 因此-≤f(x