8.2.2 第2课时 两角和与差的正切-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第三册（人教B版）

第2课时　两角和与差的正切 　　 如图所示,每个小正方形的边长为1,tan α=,tan β=,∠COD=α-β。能否求出tan(α-β)和tan(α+β)的值? 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式。 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明。 稳健启程·新知初步构建 学生用书P053 　 知识点一、两角和与差的正切公式 　　1.两角和的正切公式 (1)公式:tan(α+β)=。 (2)简记:Tα+β。 2.两角差的正切公式 (1)公式:tan(α-β)=。 (2)简记:Tα-β。 (注:α和β的取值应使分母不为0) 知识点二、两角和与差正切公式的变形 　　(1)Tα+β的变形: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)。  tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)。 tan αtan β=1-。 (2)Tα-β的变形: tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)。  tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β)。 tan αtan β=-1。 微提醒 　　(1)两角和与差的正切公式:符号变化规律可简记为“分子同,分母反”。(2)公式中的α,β,α+β,α-β都不能等于kπ+,k∈Z。 微思考　 你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan(α+β)与tan(α-β)吗? 提示:tan(α+β)====。 类似地可以推导tan(α-β),也可用-β代替tan(α+β)中的β,tan(α-β)=tan[α+(-β)]==。 细研深究·萃取知识精华 学生用书P053 　 类型一 给角求值 　　【例1】　求下列各式的值。 (1)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°; (2)。 解　(1)tan 10°+tan 50°+tan 10°tan 50°=tan 60°·(1-tan 10°tan 50°)+tan 10°tan 50°=-tan 10°·tan 50°+tan 10°tan 50°=。 (2)==tan(60°-15°)=tan 45°=1。 　　给角化简求值的策略 (1)分析式子结构,正确选用公式形式。 Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一。因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换。 (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用。 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换 【变式训练】　= (　　) A.- B. C.- D. 解析　原式=tan(75°-15°)=tan 60°=。故选D。 答案　D 类型二 给值(式)求值 　　【例2】　(1)设tan α,tan β是方程x2-3x+2=0的根,则tan(α+β)的值为 (　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析　由题意知tan α+tan β=3,tan αtan β=2,所以tan(α+β)===-3。 答案　A (2)已知tan(α+β)=,tanβ-=,则tanα+=　　　　。  解析　tanα+=tan(α+β)-β-===。 答案　 　　在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角。具体做法是: (1)当条件中有两角时,一般把所求角表示为已知两角的和或差; (2)当已知角有一个时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角 【变式训练】　在△ABC中,内角A,B满足sin A=,tan(A+B)=,则tan B等于　　　　。  解析　A,B是△ABC的内角,所以0<A+B<π,又tan(A+B)=>0,所以0<A+B<,得A,B都为锐角。由sin A=,可得cos A=,所以tan A==,所以tan B=tan[(A+B)-A]===。 答案　 类型三 给值求角 　　【例3】　已知tan α,tan β是方程6x2-5x+1=0的两根,且0<α<,π<β<,求α+β的值。 解　由已知得tan α+tan β=, 且tan αtan β=, 所以tan(α+β)===1。 因为0<α<,π<β<, 所以π<α+β<2π,所以α+β=。 　　(1)对于给值求角问题,首先求出所求角的一个三角函数值,再结合角的取值范围来确定角的大小。 (2)已知三角函数值求角,选择函数时,可按下列原则进行: ①已知正切函数值,选择正切函数; ②已知正弦、余弦函数值 ,选择正弦函数或余弦函数;